Camp i força elèctrica en un triangle isòsceles amb tres càrregues puntuals

Tres càrregues puntuals, $q_1 = +1{,}0\,\mu C$, $q_2 = -2{,}0\,\mu C$ i $q_3 = +3{,}0\,\mu C$, es troben situades als vèrtexs d’un triangle isòsceles amb base de $0{,}4\,m$ i alçada de $0{,}3\,m$. La càrrega $q_1$ es troba al vèrtex esquerre de la base, $q_2$ al vèrtex dret, i $q_3$ al vèrtex superior. a) Calcula el vector camp elèctric $\vec{E}$ al punt mig de la base del triangle. b) Si es col·loca una càrrega $Q = -4{,}0\,\mu C$ en aquest punt, determina el mòdul i l’angle del vector força elèctrica $\vec{F}$ respecte de l’eix horitzontal $x$.

📐 Geometria del problema. Tenim un triangle isòsceles amb:

• Base: 0,4 m → per tant, el punt mig de la base està a $x = 0{,}2\,m$

• Alçada: 0,3 m

• Càrregues als vèrtexs:

• $q_1 = +1{,}0\,\mu C$ (vèrtex esquerre, a $(0, 0)$)

• $q_2 = -2{,}0\,\mu C$ (vèrtex dret, a $(0{,}4, 0)$)

• $q_3 = +3{,}0\,\mu C$ (vèrtex superior, a $(0{,}2, 0{,}3)$)

El punt on volem calcular el camp elèctric, i on després col·locarem $Q = -4{,}0\,\mu C$, és el punt mig de la base:$$P = (0{,}2,\ 0)$$

a) Camp elèctric al punt mig de la base. Recordem que el camp elèctric creat per una càrrega $q$ en un punt a distància $r$ és:$$\vec{E} = k \frac{q}{r^2} \hat{r}$$On $\hat{r}$ és el vector unitari que va de la càrrega cap al punt. Farem la suma vectorial dels camps creats per cada càrrega.

🟢 Camp de $q_1 = +1\,\mu C$

• Posició de $q_1$: $(0, 0)$
• Punt: $(0{,}2, 0)$
• Vector $\vec{r}_1 = (0{,}2, 0)$, distància $r = 0{,}2\,m$

• El camp va fora de la càrrega (positiva), és a dir, cap al punt$$E_1 = k \cdot \frac{1 \cdot 10^{-6}}{(0{,}2)^2} = 9 \cdot 10^9 \cdot \frac{1 \cdot 10^{-6}}{0{,}04} = 225000\,\text{N/C}$$Vector:$$\vec{E}_1 = (225000,\ 0)\,\text{N/C}$$

🔴 Camp de $q_2 = -2\,\mu C$

• Posició: $(0{,}4,\ 0)$
• Punt: $(0{,}2,\ 0)$
• Vector $\vec{r}_2 = (-0{,}2,\ 0)$, distància $r = 0{,}2\,m$

• El camp va cap a la càrrega (negativa), o sigui també cap a la dreta (cap a $q_2$), des del punt$$E_2 = k \cdot \frac{2 \cdot 10^{-6}}{0{,}2^2} = 9 \cdot 10^9 \cdot \frac{2 \cdot 10^{-6}}{0{,}04} = 450000\,\text{N/C}$$Vector:$$\vec{E}_2 = (450000,\ 0)\,\text{N/C}$$

🟡 Camp de $q_3 = +3\,\mu C$

• Posició: $(0{,}2,\ 0{,}3)$
• Punt: $(0{,}2,\ 0)$
• Vector $\vec{r}_3 = (0,\ -0{,}3)$
• Distància: $r = 0{,}3\,m$Camp cap avall (càrrega positiva → camp surt d’ella)$$E_3 = k \cdot \frac{3 \cdot 10^{-6}}{0{,}3^2} = 9 \cdot 10^9 \cdot \frac{3 \cdot 10^{-6}}{0{,}09} = 300000\,\text{N/C}$$Vector:$$\vec{E}_3 = (0,\ -300000)\,\text{N/C}$$

➕ Suma dels camps

• Components horitzontals (x): $$ E_x = E_1 + E_2 = 225000 + 450000 = 675000\,\text{N/C} $$

• Components verticals (y): $$ E_y = -300000\,\text{N/C} $$Vector total:$$\vec{E} = (675000,\ -300000)\,\text{N/C}$$

Mòdul i angle del camp

Mòdul:$$|\vec{E}| = \sqrt{675000^2 + 300000^2} \approx \sqrt{4{,}56 \cdot 10^{11} + 9 \cdot 10^{10}} = \sqrt{5{,}46 \cdot 10^{11}} \approx 738241\,\text{N/C}$$

Angle respecte l’eix x:$$\tan\theta = \frac{E_y}{E_x} = \frac{-300000}{675000} = -0{,}444 \Rightarrow \theta \approx -23{,}9^\circ$$

b) Força sobre $Q = -4{,}0\,\mu C$ $$\vec{F} = Q \cdot \vec{E} = -4 \cdot 10^{-6} \cdot (675000,\ -300000) = (-2{,}7,\ 1{,}2)\,\text{N}$$

• Mòdul:$$|\vec{F}| = \sqrt{(-2{,}7)^2 + 1{,}2^2} = \sqrt{7{,}29 + 1{,}44} = \sqrt{8{,}73} \approx 2{,}95\,\text{N}$$

• Angle respecte l’eix x:$$\tan\theta = \frac{1{,}2}{-2{,}7} = -0{,}444 \Rightarrow \theta \approx -23{,}9^\circ$$

Però atenció: com que la força té component negativa en x i positiva en y, el vector es troba al segon quadrant, així que:$$\theta \approx 180^\circ – 23{,}9^\circ = 156{,}1^\circ$$

✅ Resum final

a) $\vec{E} \approx (675000,\ -300000)\,\text{N/C}$

• Mòdul: $\approx 738241\,\text{N/C}$

• Angle: $\theta \approx -23{,}9^\circ$ (sota l’eix x)

b) $|\vec{F}| \approx 2{,}95\,\text{N}$

• Angle respecte a l’eix x: $\approx 156{,}1^\circ$