Anàlisi de la Convergència de la Sèrie de Potències

Trobar la regió de convergència de la sèrie de potències\[\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n-1} n x^n.\]

1) Per trobar el radi de convergència \( R \), és còmode aplicar la fórmula. Donat que \( c_n = (-1)^{n-1} n \) i \( c_{n+1} = (-1)^n (n+1) \), tenim\[R = \lim_{n \to \infty} \frac{|c_n|}{|c_{n+1}|} = \lim_{n \to \infty} \frac{|(-1)^{n-1} n|}{|[(-1)^n (n+1)]|} = \lim_{n \to \infty} \frac{n}{n+1} = 1.\] La sèrie convergeix absolutament en l’interval \(-1 < x < 1\).

2) Investiguem la convergència de la sèrie en els extrems de l’interval de convergència. Fent \( x = -1 \), obtenim la sèrie numèrica\[\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n-1} n (-1)^n = \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{2n-1} n = \sum_{n=1}^{\infty} (-n),\] la divergència és evident, ja que no es compleix el criteri necessari de convergència: \(\lim_{n \to \infty} (-n) \neq 0\). Per \( x = 1 \), resulta la sèrie numèrica\[\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n-1} n,\]que també divergeix, ja que\[\lim_{n \to \infty} (-1)^{n-1} n\]no existeix.Per tant, la regió de convergència de la sèrie de potències és l’interval \(-1 < x < 1\).