Convergència de la Sèrie mitjançant el Criteri de la Integral

Investigar la convergència de la sèrie\[\sum_{n=4}^{\infty} \frac{1}{(n-2) \ln^2 (n-2)}.\]

Com que el terme general de la sèrie és\[a_n = \frac{1}{(n-2) \ln^2 (n-2)},\]en cala de funció \( f(x) \) prenem\[f(x) = \frac{1}{(x-2) \ln^2 (x-2)}, \quad \text{on} \quad x \geq 4.\]Aleshores,\[\int_{4}^{+\infty} \frac{dx}{(x-2) \ln^2 (x-2)} = \lim_{b \to +\infty} \int_{4}^{b} \frac{dx}{(x-2) \ln^2 (x-2)} =\]\[= \lim_{b \to +\infty} \int_{4}^{b} \frac{d(\ln (x-2))}{\ln^2 (x-2)} = \lim_{b \to +\infty} \left( -\frac{1}{\ln (x-2)} \right)_{4}^{b} =\]\[= \lim_{b \to +\infty} \left( \frac{1}{\ln 2} – \frac{1}{\ln (b-2)} \right) = \frac{1}{\ln 2}.\]La convergència de la integral impròpia\[\int_{4}^{+\infty} \frac{dx}{(x-2) \ln^2 (x-2)}\]implica la convergència de la sèrie.