Càlcul valors paràmetre per al qual la matriu és invertible

Troba els valors de $\lambda$ per als quals és invertible la matriu $$\begin{pmatrix} 1 & \lambda & -1 \\ 2 & -1 & \lambda \\ 1 & 10 & -6 \end{pmatrix}$$

Sabem que una matriu d’ordre 3 és invertible si, i només si, el seu rang és 3. Per tant, hem de trobar els valors de λ per als quals el rang d’aquesta matriu és 3.

Triangulant la matriu tenim

$$\begin{pmatrix} 1 & \lambda & -1 \\ 2 & -1 & \lambda \\ 1 & 10 & -6 \end{pmatrix} \sim \begin{pmatrix} 1 & \lambda & -1 \\ 0 & -2\lambda-1 & \lambda+2 \\ 0 & -\lambda+10 & -5 \end{pmatrix} F_2 – F_1 – F_3 \sim F_3 – F_1$$

$$\sim \begin{pmatrix} 1 & \lambda & -1 \\ 0 & 2\lambda-1 & \lambda+2 \\ 0 & 21 & -\lambda-12 \end{pmatrix} F_2 = F_3 \sim \begin{pmatrix} 0 & 21 & -\lambda-12 \\ 0 & -2\lambda-1 & \lambda+2 \\ F_3 – 2 F_1 – (2\lambda+1) F_2 \end{pmatrix}$$

$$\sim \begin{pmatrix} 1 & \lambda & -1 \\ 0 & 2\lambda-1 & \lambda+2 \\ 0 & 21 & -\lambda-12 \end{pmatrix} \sim \begin{pmatrix} 1 & \lambda & -1 \\ 0 & 21 & -\lambda-12 \\ 0 & 0 & -2\lambda^2 – 4\lambda + 30 \end{pmatrix}.$$

Tenint en compte que $-2\lambda^2 – 4\lambda + 30 = 0$, si, i només si,

$$\lambda = \frac{4 \pm \sqrt{16+240}}{-4} = \frac{4 \pm \sqrt{256}}{-4} = \frac{4 \pm 16}{-4} = \left\{ -5, 3 \right\}.$$

Resulta que el rang de la matriu és 3 per tant, és invertible si, i només si, λ ≠ -5, 3.