PAU 2006 Sèrie 3 Qüestió 4

Sigui la matriu $A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 \\ 4 & 1 & -m \\ 0 & m & 3 \end{pmatrix}$. Determineu els valors de $m$ per als quals $\text{Rang}(A) < 3$. Pot ser $\text{Rang}(A) = 1$ per algun valor de $m$?

Pas 1: Reducció a forma escalonada

Per determinar el rang, reduïm la matriu $A$ a forma escalonada mitjançant l’eliminació de Gauss:

• Fila 2 $\to$ Fila 2 – 4·Fila 1:
  $$\begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 \\ 4 & 1 & -m \\ 0 & m & 3 \end{pmatrix} \to \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & -m + 4 \\ 0 & m & 3 \end{pmatrix}$$
• Fila 3 $\to$ Fila 3 – $m$·Fila 2:
  $$\begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & -m + 4 \\ 0 & m & 3 \end{pmatrix} \to \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & -m + 4 \\ 0 & 0 & 3 – m(-m + 4) \end{pmatrix}$$
  Simplifiquem l’element (3,3):
  $$3 – m(-m + 4) = 3 + m^2 – 4m$$
  Així, la matriu es redueix a:
  $$\begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & -m + 4 \\ 0 & 0 & m^2 – 4m + 3 \end{pmatrix}$$

Pas 2: Determinar el rang

El rang de la matriu és igual al nombre de files no nules en la seva forma escalonada. Com que la matriu té 3 files, el rang serà inferior a 3 si l’element (3,3) és zero, ja que això faria que la tercera fila fos tota zero.

• L’element (3,3) és $m^2 – 4m + 3$.
• Resolem $m^2 – 4m + 3 = 0$:
  $$m^2 – 4m + 3 = (m – 1)(m – 3) = 0$$
  Les solucions són $m = 1$ o $m = 3$.

Quan $m = 1$ o $m = 3$, l’element (3,3) es fa zero, i la matriu es redueix a:
$$\begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & -m + 4 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$$
Això indica que el rang és 2 (perquè hi ha dues files no nules).

Pas 3: Comprovació del rang per $m = 1$ i $m = 3$

• Si $m = 1$:
  $$A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 \\ 4 & 1 & -1 \\ 0 & 1 & 3 \end{pmatrix} \to \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 3 \end{pmatrix} \to \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \end{pmatrix}$$
  (Error inicial, corregim amb el pas adequat):
  Realment, amb $m = 1$:
  $$\begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & -1 + 4 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 3 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$$
  Rang = 2.
• Si $m = 3$:
  $$A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 \\ 4 & 1 & -3 \\ 0 & 3 & 3 \end{pmatrix} \to \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 3 & 3 \end{pmatrix} \to \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$$
  Rang = 2.

En ambdós casos, el rang és 2 quan $m = 1$ o $m = 3$, confirmant que $\text{Rang}(A) < 3$ per aquests valors.

Pas 4: Pot ser $\text{Rang}(A) = 1$?

Perquè el rang sigui 1, totes les files de la matriu escalonada han de ser proporcions de la primera fila no nula, o bé només una fila no nula. Això requereix que tant la fila 2 com la fila 3 siguin zero després de la reducció.

• De l’element (2,3) = $-m + 4 = 0 \to m = 4$.
• De l’element (3,3) = $m^2 – 4m + 3 = 0 \to m = 1$ o $m = 3$ (com abans).

Aquests valors de ( m ) (1, 3, 4) no són coherents entre si per fer que totes les files siguin zero. Comprovem $m = 4$:
$$A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 \\ 4 & 1 & -4 \\ 0 & 4 & 3 \end{pmatrix} \to \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 4 & 3 \end{pmatrix} \to \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \end{pmatrix}$$
Rang = 3.

No hi ha cap valor de $m$ que faci que el rang sigui 1, ja que la matriu sempre té almenys dues files linealment independents per a qualsevol $m$.

Resposta final:

• Els valors de $m$ per als quals $\text{Rang}(A) < 3$ són $m = 1$ i $m = 3$.
• No pot ser $\text{Rang}(A) = 1$ per cap valor de $m$.