Càlcul per determinar si una persona arriba a agafar un autobús

Una persona es troba a una distància de $30$ m d’una parada de bus quan veu que el que ha d’agafar arrenca amb acceleració $a = 2 \, \text{m/s}^2$. En el mateix instant, comença a córrer amb velocitat $v = 10 \, \text{m/s}$. Feu els càlculs necessaris per esbrinar si arribarà a agafar-lo. Repetiu l’exercici suposant ara que el conductor s’ha entretingut $2$ s.

Dades inicials:

• Distància inicial entre la persona i la parada: $d_0 = 30 \, \text{m}$.
• Autobús: Velocitat inicial $v_{0,\text{bus}} = 0 \, \text{m/s}$, acceleració $a_{\text{bus}} = 2 \, \text{m/s}^2$.
• Persona: Velocitat constant $v_{\text{persona}} = 10 \, \text{m/s}$, acceleració $a_{\text{persona}} = 0 \, \text{m/s}^2$.
• Els dos es mouen en la mateixa direcció, i la persona ha d’arribar a la posició de l’autobús.

Part 1: La persona i l’autobús comencen al mateix temps

Equacions de posició:

• Autobús: Parteix de $x_0 = 30 \, \text{m}$ (a la parada), posició:
  $$x_{\text{bus}} = 30 + \frac{1}{2} a_{\text{bus}} t^2 = 30 + t^2.$$
• Persona: Parteix de $x_0 = 0$, posició:
  $$x_{\text{persona}} = v_{\text{persona}} t = 10 t.$$

La persona atrapa l’autobús quan $x_{\text{persona}} = x_{\text{bus}}$:
$$10 t = 30 + t^2.$$

Equació de segon grau indicada:
$$t^2 – 10 t + 30 = 0.$$

Resolem l’equació quadràtica:
$$\Delta = (-10)^2 – 4 \cdot 1 \cdot 30 = 100 – 120 = -20.$$

Com que el discriminant és negatiu ($\Delta < 0$), no hi ha solucions reals. Això indica que la persona no pot atrapar l’autobús, ja que la seva velocitat constant no és suficient per igualar la posició de l’autobús, que accelera.

Resposta (Part 1): La persona no arriba a agafar l’autobús.

Part 2: L’autobús arrenca 2 segons després

Ara l’autobús comença a moure’s quan $t_{\text{persona}} = 2 \, \text{s}$. En aquest temps, la persona ha corregut:
$$x_{\text{persona}}(t=2) = 10 \cdot 2 = 20 \, \text{m}.$$

La distància restant fins a la parada és:
$$30 – 20 = 10 \, \text{m}.$$

Equacions de posició (amb $t’ = t – 2$ per a l’autobús):

• Persona: La posició és:
  $$x_{\text{persona}} = 10 t.$$
• Autobús: Comença a $t = 2 \, \text{s}$, per tant, la seva posició per a $t \geq 2$ és:
  $$x_{\text{bus}} = 30 + \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot (t – 2)^2 = 30 + (t – 2)^2.$$

La persona atrapa l’autobús quan $x_{\text{persona}} = x_{\text{bus}}$:
$$10 t = 30 + (t – 2)^2.$$

Equació de segon grau indicada:
Expandim i simplifiquem:
$$10 t = 30 + (t^2 – 4 t + 4) \implies 10 t = t^2 – 4 t + 34 \implies t^2 – 14 t + 34 = 0.$$

Resolem l’equació quadràtica:
Prenem la solució positiva (ja que $t \geq 2$):
$$t \approx \frac{14 + \sqrt{196 – 136}}{2} = \frac{14 + \sqrt{60}}{2} \approx 10,87 \, \text{s}.$$

Comprovem si $t \geq 2$:
$$10,87 \, \text{s} > 2 \, \text{s}.$$

La persona arriba a la posició de l’autobús a $t \approx 10,87 \, \text{s}$, després que l’autobús hagi començat a moure’s, per tant, és possible atrapar-lo.

Resposta (Part 2): La persona arriba a agafar l’autobús en aproximadament 10,87 segons.

Resposta final:

• Part 1: La persona no arriba a agafar l’autobús (equació: ( t^2 – 10 t + 30 = 0 ), sense solucions reals).
• Part 2: La persona arriba a agafar l’autobús en 10,87 segons (equació: ( t^2 – 14 t + 34 = 0 )).