Càlcul del temps de trobada de dos cotxes en moviment contrari

Dos cotxes que es trobaven separats $500$ m de distància es mouen en sentit contrari, l’un amb velocitat inicial $3$ m/s i acceleració $2$ m/s$^2$ i l’altre amb velocitat inicial $4$ m/s i acceleració $5$ m/s$^2$. Es demana: (a) Calculeu el temps que tarden a trobar-se. (b) Suposant ara que el segon té velocitat inicial $35$ m/s i frena amb $1$ m/s$^2$, calculeu el temps que tarden a trobar-se, abans que s’aturi.

Dades inicials:

• Distància inicial entre els cotxes: $d_0 = 500 \, \text{m}$.
• Cotxe 1: Velocitat inicial $v_{0,1} = 3 \, \text{m/s}$, acceleració $a_1 = 2 \, \text{m/s}^2$.
• Cotxe 2 (part a): Velocitat inicial $v_{0,2} = 4 \, \text{m/s}$, acceleració $a_2 = 5 \, \text{m/s}^2$.
• Cotxe 2 (part b): Velocitat inicial $v_{0,2} = 35 \, \text{m/s}$, acceleració $a_2 = -1 \, \text{m/s}^2$ (frena).
• Els cotxes es mouen en sentit contrari.

(a) Temps que tarden a trobar-se

Les posicions dels cotxes es defineixen amb l’equació del moviment uniformement accelerat:

• Cotxe 1: Parteix de $x_0 = 0$, posició: $x_1 = 3 t + t^2$.
• Cotxe 2: Parteix de $x_0 = 500 \, \text{m}$, velocitat i acceleració negatives (sentit contrari), posició: $x_2 = 500 – 4 t – 2,5 t^2$.

Quan es troben: $x_1 = x_2$:
$$3 t + t^2 = 500 – 4 t – 2,5 t^2.$$

Reorganitzem en una equació quadràtica:
$$3,5 t^2 + 7 t – 500 = 0.$$

Resolem l’equació quadràtica i prenem la solució positiva:
$$t \approx 10,99 \, \text{s}.$$

Resposta (a): Els cotxes tarden aproximadament 10,99 segons a trobar-se.

(b) Temps que tarden a trobar-se amb el segon cotxe frenant

Dades del cotxe 2: Velocitat inicial $v_{0,2} = -35 \, \text{m/s}$, acceleració $a_2 = 1 \, \text{m/s}^2$ (frena).

Temps fins que el cotxe 2 s’atura:
$$v_2 = -35 + t = 0 \implies t = 35 \, \text{s}.$$

Equacions de posició:

• Cotxe 1: $x_1 = 3 t + t^2$.
• Cotxe 2: Parteix de $x_0 = 500 \, \text{m}$, posició: $x_2 = 500 – 35 t + 0,5 t^2$.

Quan es troben: $x_1 = x_2$:
$$3 t + t^2 = 500 – 35 t + 0,5 t^2.$$

Reorganitzem en una equació quadràtica:
$$0,5 t^2 + 38 t – 500 = 0 \implies t^2 + 76 t – 1000 = 0.$$

Resolem l’equació quadràtica i prenem la solució positiva:
$$t \approx 11,44 \, \text{s}.$$

Com que $11,44 \, \text{s} < 35 \, \text{s}$, es troben abans que el cotxe $2$ s’aturi.

Resposta (b): Els cotxes tarden aproximadament 11,44 segons a trobar-se.

Resposta final:

• (a) Temps per trobar-se: 10,99 segons.
• (b) Temps per trobar-se (amb el cotxe 2 frenant): 11,44 segons.