Càlcul del temps i la velocitat en una persecució policial

Un cotxe circula a una velocitat $v = 72 \, \text{km/h}$ en una zona escolar. Un cotxe de policia el veu passar pel seu costat i inicia una persecució accelerant amb $a = 3 \, \text{m/s}^2$. Quan atrapa l’altre cotxe? Quina serà la velocitat del cotxe de policia en aquell moment?

Dades inicials:

• Velocitat del cotxe: $v_{\text{cotxe}} = 72 \, \text{km/h}$.
• Acceleració del cotxe de policia: $a_{\text{policia}} = 3 \, \text{m/s}^2$.
• Velocitat inicial del cotxe de policia: $v_{0,\text{policia}} = 0 \, \text{m/s}$ (inicia des de repòs).
• El cotxe de policia comença la persecució quan el cotxe passa pel seu costat (distància inicial = 0).

Pas 1: Convertir unitats
Convertim la velocitat del cotxe a metres per segon:
$$v_{\text{cotxe}} = 72 \, \text{km/h} \cdot \frac{1000 \, \text{m}}{3600 \, \text{s}} = 20 \, \text{m/s}.$$

Pas 2: Equacions de moviment

• El cotxe es mou amb velocitat constant, per tant, la seva posició en funció del temps $t$ és:
  $$x_{\text{cotxe}} = v_{\text{cotxe}} \cdot t = 20 \, t.$$
• El cotxe de policia accelera des de repòs amb $a = 3 \, \text{m/s}^2$, per tant, la seva posició és:
  $$x_{\text{policia}} = \frac{1}{2} a t^2 = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot t^2 = 1,5 t^2.$$

Pas 3: Temps per atrapar el cotxe
Els dos vehicles es troben quan les seves posicions són iguals:
$$x_{\text{cotxe}} = x_{\text{policia}} \implies 20 t = 1,5 t^2.$$
Reorganitzem l’equació:
$$1,5 t^2 – 20 t = 0.$$
Factoritzem:
$$t (1,5 t – 20) = 0.$$
Les solucions són:
$$t = 0 \quad \text{o} \quad 1,5 t = 20 \implies t = \frac{20}{1,5} \approx 13,33 \, \text{s}.$$
Ignorem $t = 0$ (moment inicial) i prenem $t \approx 13,33 \, \text{s}$.

Pas 4: Velocitat del cotxe de policia
La velocitat del cotxe de policia en el moment $t$ es calcula amb:
$$v_{\text{policia}} = v_{0,\text{policia}} + a t = 0 + 3 \cdot 13,33 \approx 40 \, \text{m/s}.$$
Convertim a km/h per comparar:
$$v_{\text{policia}} \approx 40 \cdot \frac{3600}{1000} = 144 \, \text{km/h}.$$

Resposta final:

• Temps per atrapar el cotxe: aproximadament 13,33 segons.
• Velocitat del cotxe de policia: aproximadament 40 m/s (o 144 km/h).