Càlcul moment inèrcia làmina homogènia quadrada

Determineu el moment d’inèrcia d’una làmina homogènia quadrada de 0,2 m de costat i 1,0 kg de massa, respecte a un eix perpendicular a la làmina i que passa pel seu centre; i respecte a un eix paral·lel a l’anterior i que passa per un dels vèrtex.

El moment d’inèrcia d’una làmina homogènia quadrada de costat $a = 0.2$ m i massa $m = 1.0$ kg es calcula per diferents eixos de rotació.

Moment d’inèrcia respecte a l’eix central

El moment d’inèrcia respecte a un eix perpendicular a la làmina i que passa pel seu centre és:

\begin{equation}
I_C = \frac{1}{6} m a^2
\end{equation}

Substituint les dades:

\begin{equation}
I_C = \frac{1}{6} (1.0) (0.2)^2
\end{equation}

\begin{equation}
I_C = \frac{1}{6} \times 0.04
\end{equation}

\begin{equation}
I_C = 0.00667 \text{ kg·m}^2
\end{equation}

Moment d’inèrcia respecte a un eix paral·lel que passa per un vèrtex

Utilitzem el Teorema dels eixos paral·lels (o Teorema d’Steiner):

\begin{equation}
I_V = I_C + m d^2
\end{equation}

On ( d ) és la distància entre els dos eixos, que correspon a la meitat de la diagonal del quadrat:

\begin{equation}
d = \frac{a\sqrt{2}}{2} = \frac{0.2\sqrt{2}}{2} = 0.1414 \text{ m}
\end{equation}

Així,

\begin{equation}
I_V = 0.00667 + (1.0)(0.1414)^2
\end{equation}

\begin{equation}
I_V = 0.00667 + 0.02
\end{equation}

\begin{equation}
I_V = 0.02667 \text{ kg·m}^2
\end{equation}

Resultats finals

\begin{equation}
I_C = 0.00667 \text{ kg·m}^2
\end{equation}

\begin{equation}
I_V = 0.02667 \text{ kg·m}^2
\end{equation}