Correcció de la continuïtat

Corregir l’error de continuïtat en l’aproximació de la distribució binomial per una normal

Quan utilitzem una distribució normal per aproximar una distribució binomial, estem fent una aproximació d’una distribució discreta (binomial) per una contínua (normal). Com que la distribució binomial és discreta i pren valors enteros, mentre que la normal és contínua, aquesta aproximació pot introduir un error, especialment en valors puntuals de \( k \). Aquest error és el que es coneix com a error de continuïtat. Per corregir aquest error, s’aplica la correcció de continuïtat, que ajusta els valors que volem calcular per tenir en compte el fet que estem passant d’un conjunt discret a un conjunt continu.

Per què cal la correcció de continuïtat?

La distribució binomial és discreta, és a dir, només pren valors enteros \( k = 0, 1, 2, \dots, n \), mentre que la distribució normal és contínua i pot assumir qualsevol valor real. Quan aproximem la binomial per la normal, estem modelant una variable aleatòria discreta per una contínua, el que implica que per calcular la probabilitat exacta \( P(X = k) \), hauríem de considerar l’àrea sota la corba normal entre \( k – 0.5 \) i \( k + 0.5 \) en comptes d’usar només el valor puntual \( k \).

Aplicació de la correcció de continuïtat

Quan volem calcular la probabilitat que una variable binomial sigui igual a un valor \( k \), la probabilitat \( P(X = k) \) es pot aproximar per la probabilitat que la variable normal estigui en l’interval \([k – 0.5, k + 0.5]\). És a dir, la probabilitat que \( X = k \) es calcula com:\[P(X = k) \approx P\left(k – 0.5 \leq Z \leq k + 0.5 \right)\]on \( Z \) és una variable aleatòria que segueix una distribució normal estàndard \( N(\mu, \sigma^2) \).

Fórmula per a la correcció de continuïtat

Donat que volem calcular una probabilitat per a la distribució normal aproximada \( N(\mu, \sigma^2) \), utilitzem la normalització per convertir la variable binomial a una normal estàndard \( N(0, 1) \). La normalització és el procés mitjançant el qual convertim una variable aleatòria \( X \sim N(\mu, \sigma^2) \) en una variable aleatòria \( Z \sim N(0, 1) \), utilitzant la fórmula següent:\[Z = \frac{X – \mu}{\sigma}\]Amb la correcció de continuïtat, calculem les probabilitats d’interès com:\[P(k – 0.5 \leq X \leq k + 0.5) \approx P\left( \frac{k – 0.5 – \mu}{\sigma} \leq Z \leq \frac{k + 0.5 – \mu}{\sigma} \right)\]Aquesta fórmula ens permet ajustar la probabilitat i obtenir una aproximació més precisa de la distribució binomial amb la distribució normal.

Exemple numèric amb la correcció de continuïtat

Suposem que tenim una distribució binomial amb \( n = 100 \) i \( p = 0.4 \), és a dir, \( X \sim B(100, 0.4) \). Volem calcular la probabilitat \( P(X = 40) \) mitjançant l’aproximació normal.

1. Mitjana: \( \mu = n \cdot p = 100 \cdot 0.4 = 40 \)

2. Desviació estàndard: \( \sigma = \sqrt{100 \cdot 0.4 \cdot 0.6} = \sqrt{24} \approx 4.9 \)Amb l’aproximació normal, \( X \sim N(40, 24) \). Aplicant la correcció de continuïtat per calcular \( P(X = 40) \), utilitzem l’interval \([39.5, 40.5]\) i normalitzem.

3. Normalització per al límit inferior \( k – 0.5 = 39.5 \): \[Z_{\text{inferior}} = \frac{39.5 – 40}{4.9} = \frac{-0.5}{4.9} \approx -0.102\]

4. Normalització per al límit superior \( k + 0.5 = 40.5 \): \[Z_{\text{superior}} = \frac{40.5 – 40}{4.9} = \frac{0.5}{4.9} \approx 0.102\]Ara, calculem la probabilitat associada a aquests valors de \( Z \) en la distribució normal estàndard \( N(0, 1) \).Utilitzant taules de la distribució normal estàndard, trobem que:\[P(Z \leq 0.102) \approx 0.5418\]\[P(Z \leq -0.102) \approx 0.4592\]Per tant, la probabilitat que \( X = 40 \) en la distribució binomial aproximada per la normal és:\[P(39.5 \leq X \leq 40.5) \approx P(Z \leq 0.102) – P(Z \leq -0.102) = 0.5418 – 0.4592 = 0.0826\]

Conclusió. La correcció de continuïtat és una tècnica important per millorar l’aproximació d’una distribució binomial per una distribució normal. Aquesta correcció ajuda a reduir l’error introduït pel fet que la distribució binomial és discreta i la normal és contínua. Aplicant aquesta correcció, podem obtenir una estimació més precisa de les probabilitats associades a la distribució binomial, especialment per a valors puntuals de \( k \).