Càlcul d’un Tir Parabòlic amb Abast de 200 m

Volem realitzar un tir parabòlic amb una velocitat de $45$ m/s de manera que tingui un abast de $200$ m. Calcular: (a) A quin angle s’ha de realitzar el tir. (b) Quina serà l’alçada màxima assolida. (c) Quin serà el temps de vol. (d) Quina serà la velocitat quan torni a arribar al terra.

Les fórmules del tir parabòlic són:

\begin{equation}
X = \frac{v_0^2 \sin 2\alpha}{g}
\end{equation}
\begin{equation}
H_M = \frac{v_0^2 \sin^2 \alpha}{2g}
\end{equation}
\begin{equation}
T_V = \frac{2 v_0 \sin \alpha}{g}
\end{equation}

(a) Coneixem l’abast i la velocitat, així que podem utilitzar la fórmula de l’abast i substituir les dades per trobar l’angle:

\begin{equation}
X = \frac{v_0^2 \sin 2\alpha}{g}
\end{equation}
\begin{equation}
200 = \frac{45^2 \sin 2\alpha}{9,8}
\end{equation}
\begin{equation}
\sin 2\alpha = \frac{200 \cdot 9,8}{45^2} = 0,9679 \Rightarrow 2\alpha = \sin^{-1}(0,9679) = 75,443^\circ
\end{equation}
\begin{equation}
\alpha = \frac{75,443}{2} = 37,72^\circ
\end{equation}

Resposta: $\alpha = 37,72^\circ$.

(b) Per a l’alçada màxima, apliquem directament la fórmula:

\begin{equation}
H_M = \frac{v_0^2 \sin^2 \alpha}{2g} = \frac{45^2 \cdot \sin^2 37,72}{2 \cdot 9,8} = 38,671 \, \text{m}
\end{equation}

Resposta: $H_M = 38,671 \, \text{m}$.

(c) Per al temps de vol, utilitzem la tercera fórmula:

\begin{equation}
T_V = \frac{2 v_0 \sin \alpha}{g} = \frac{2 \cdot 45 \cdot \sin 37,72}{9,8} = 5,618 \, \text{s}
\end{equation}

Resposta: $T_V = 5,618 \, \text{s}$.

(d) Per calcular la velocitat quan arriba al terra, fem servir la fórmula de la velocitat:

\begin{equation}
v = \sqrt{v_0^2 \cos^2 \alpha + (v_0 \sin \alpha – g \cdot t)^2}
\end{equation}

on $t$ és el temps de vol. Substituint:

\begin{equation}
v = \sqrt{45^2 \cdot \cos^2 37,72 + (45 \cdot \sin 37,72 – 9,8 \cdot 5,618)^2} \approx 45 \, \text{m/s}
\end{equation}

Resposta: $v = 45 \, \text{m/s}$.

Resum final

• (a) Angle del tir: $37,72^\circ$
• (b) Alçada màxima: $38,671 \, \text{m}$
• (c) Temps de vol: $5,618 \, \text{s}$
• (d) Velocitat al terra: $45 \, \text{m/s}$