Càlcul del Moviment d’una Pedra Llançada des d’un Pont

Des d’un pont es llança cap amunt una pedra amb una velocitat inicial i triga $3$ s a arribar al riu, tal com s’indica a la figura. L’alçada del pont és $h_0 = 10 \, \text{m}$. Calcular: (a) A quina velocitat cal llançar la pedra? (b) El temps que triga a tornar al punt de llançament. (c) Quina velocitat té quan arriba al riu? ($g = -9,8 \, \text{m/s}^2$) (d) Quina és l’alçada màxima assolida?

Es tracta d’un problema de caiguda lliure amb les següents fórmules:

$$\begin{cases}v = v_0 + g \cdot t \\ h = h_0 + v_0 \cdot t + \frac{1}{2} \cdot g \cdot t^2 \\ v^2 = v_0^2 + 2 \cdot g \cdot (h – h_0)\end{cases}$$

En aquests problemes, sempre coneixem l’acceleració de la gravetat, $g = -9,8 \, \text{m/s}^2$.

(a) Segons el problema, les dades proporcionades són el temps, l’alçada inicial (que és l’alçada del pont, $h_0 = 10 \, \text{m}$), i l’alçada final, $h = 0 \, \text{m}$, ja que la pedra arriba al riu, que es considera el nivell de referència (origen de les altures). Podem substituir aquests valors en la segona fórmula, on la incògnita és la velocitat inicial de llançament $v_0$:

$$0 = 10 + 3 \cdot v_0 + \frac{1}{2} \cdot (-9,8) \cdot 3^2\longrightarrow 0 = 10 + 3 \cdot v_0 – 44,1\longrightarrow -3 \cdot v_0 = 10 – 44,1 = -34,1\longrightarrow v_0 = \frac{-34,1}{-3} = 11,36 \, \text{m/s} $$

Resposta: $v_0 = 11,36 \, \text{m/s}$.

(b) En aquest cas, l’alçada inicial i final són la mateixa, ja que és l’alçada del pont. Utilitzem de nou la segona fórmula amb la velocitat inicial calculada:

$10 = 10 + 11,36 \cdot t + \frac{1}{2} \cdot (-9,8) \cdot t^2\longrightarrow 0 = 11,36 \cdot t – 4,9 \cdot t^2$

Aquesta és una equació de segon grau que es pot factoritzar com:

$$0 = t \cdot (11,36 – 4,9 \cdot t)$$

Les solucions són $t = 0$, que és evident perquè en $t = 0$ la pedra és al pont, i l’altra solució, que és la que ens interessa:

$$0 = 11,36 – 4,9 \cdot t\longrightarrow 4,9 \cdot t = 11,36\longrightarrow t = \frac{11,36}{4,9} = 2,318 \, \text{s}$$

Resposta: $t = 2,318 \, \text{s}$.

(c) Per calcular la velocitat quan arriba al riu, utilitzem la tercera fórmula, on coneixem tots els valors excepte la velocitat final. La velocitat inicial és la calculada en l’apartat (a):

$$v^2 = v_0^2 + 2 \cdot g \cdot (h – h_0)$$
$$v = \pm \sqrt{11,36^2 + 2 \cdot (-9,8) \cdot (0 – 10)}$$
$$v = \pm \sqrt{129,05 + 196} = \pm \sqrt{325,05} \approx -18,029 \, \text{m/s}$$

Prenem el signe negatiu perquè la pedra està baixant.

Resposta: $v = -18,029 \, \text{m/s}$.

(d) Per calcular l’alçada màxima, utilitzem de nou la tercera fórmula. En el punt més alt, la velocitat és nul·la ($v = 0$):

$$v^2 = v_0^2 + 2 \cdot g \cdot (h – h_0)$$
$$0 = 11,36^2 + 2 \cdot (-9,8) \cdot (h – 10)$$
$$19,6 \cdot (h – 10) = 129,05$$
$$h – 10 = \frac{129,05}{19,6} = 6,58$$
$$h = 10 + 6,58 = 16,58 \, \text{m}$$

Resposta: L’alçada màxima és $h = 16,58 \, \text{m}$.

Resum final

(a) Velocitat inicial: $11,36 \, \text{m/s}$
(b) Temps per tornar al punt de llançament: $2,318 \, \text{s}$
(c) Velocitat quan arriba al riu: $-18,029 \, \text{m/s}$
(d) Alçada màxima: $16,58 \, \text{m}$