Càlcul de Frenada d’un Cotxe a Alta Velocitat

Un cotxe que circula a $180$ km/h frena fins als $108$ km/h en $10$ s. Calcular: (a) L’acceleració (b) La distància que recorre mentre frena (c) Si continua frenant amb la mateixa acceleració, quant de temps trigarà a aturar-se completament i quina distància total haurà recorregut?

Per resoldre aquest problema, utilitzarem les equacions de la cinemàtica. Primer, convertirem les velocitats de km/h a m/s per treballar en unitats del Sistema Internacional (SI):

• Velocitat inicial: $v_i = 180 \, \text{km/h} = 180 \cdot \frac{1000}{3600} = 50 \, \text{m/s}$
• Velocitat final: $v_f = 108 \, \text{km/h} = 108 \cdot \frac{1000}{3600} = 30 \, \text{m/s}$
• Temps: $t = 10 \, \text{s}$

(a) Calcular l’acceleració

L’acceleració es calcula amb la fórmula:

$$a = \frac{v_f – v_i}{t}$$

Substituint:

$$a = \frac{30 – 50}{10} = \frac{-20}{10} = -2 \, \text{m/s}^2$$

Resposta: L’acceleració és $-2 \, \text{m/s}^2$ (negativa perquè el cotxe frena).

(b) Calcular la distància que recorre mentre frena

Utilitzem l’equació de la distància en moviment uniformement accelerat:

$$d = v_i \cdot t + \frac{1}{2} a \cdot t^2$$

Substituint:

$$d = 50 \cdot 10 + \frac{1}{2} \cdot (-2) \cdot 10^2$$
$$d = 500 – 1 \cdot 100 = 500 – 100 = 400 \, \text{m}$$

Resposta: La distància recorreguda mentre frena és $400 \, \text{m}$.

(c) Temps i distància per aturar-se completament

Si el cotxe continua frenant amb la mateixa acceleració ($a = -2 \, \text{m/s}^2$), calculem:

Temps per aturar-se ($v_f = 0 \, \text{m/s}$)

Partim de la velocitat inicial al final del primer tram ($v_i = 30 \, \text{m/s}$) i utilitzem la fórmula:

$$v_f = v_i + a \cdot t$$

$$0 = 30 + (-2) \cdot t$$
$$0 = 30 – 2t$$
$$t = \frac{30}{2} = 15 \, \text{s}$$

Per tant, el cotxe triga 15 s addicionals a aturar-se.

El temps total des de l’inici (quan $v_i = 50 \, \text{m/s}$) és:

$$t_{\text{total}} = 10 + 15 = 25 \, \text{s}$$

Distància recorreguda durant aquests 15 s

Utilitzem l’equació de la distància:

$$d_2 = v_i \cdot t + \frac{1}{2} a \cdot t^2$$

Substituint ($v_i = 30 \, \text{m/s}$, $t = 15 \, \text{s}$, $a = -2 \, \text{m/s}^2$):

$$d_2 = 30 \cdot 15 + \frac{1}{2} \cdot (-2) \cdot 15^2$$
$$d_2 = 450 – 1 \cdot 225 = 450 – 225 = 225 \, \text{m}$$

Distància total recorreguda

La distància total és la suma de la distància del primer tram ($400$ m) i la del segon tram ($225$ m):

$$d_{\text{total}} = 400 + 225 = 625 \, \text{m}$$

Resposta:

• Temps per aturar-se completament: $25$ s.
• Distància total recorreguda: $625$ m.

Resum final

(a) Acceleració: $-2 \, \text{m/s}^2$
(b) Distància mentre frena: $400 \, \text{m}$
(c) Temps total per aturar-se: $25 \, \text{s}$, distància total: $625 \, \text{m}$