Càlcul del Centre de Masses d’una Xapa Plana Homogènia

Donada la xapa plana i homogènia representada a la figura, trobeu-ne el centre de masses.

Es tracta d’una figura plana i homogènia. Per simetria, tenim: \( y_{CM} = 0 \). També \( \sigma = \text{ct} \), així en lloc de masses \( m_i \), podem utilitzar superfícies \( S_i \). Descomponem la xapa en tres peces: peça 1: un quadrat de xapa; peça 2: un triangle de xapa; peça 3: un forat de xapa. Vegeu la figura. Tindrem\[x_{CM} = \frac{1}{m} \sum_{i=1}^{N} m_i x_{CM}^{(i)} = \frac{1}{\sigma S} \sum_{i=1}^{N} \sigma S_i x_{CM}^{(i)} = \frac{1}{S} \sum_{i=1}^{N} S_i x_{CM}^{(i)}\]tenint en compte el signe “-” si es tracta d’un forat!\[x_{CM} = \frac{1}{S_1 + S_2 – S_3} \left\{ S_1 x_{CM}^{(1)} + S_2 x_{CM}^{(2)} – S_3 x_{CM}^{(3)} \right\}\]\[S_1 = 4a^2; \quad S_2 = \frac{1}{2} 2a \cdot 2a; \quad S_3 = \frac{1}{2} \pi a^2\]\[x_{CM}^{(1)} = a; \quad x_{CM}^{(2)} = 2a + \frac{1}{3} 2a; \quad x_{CM}^{(3)} = \frac{4a}{3\pi}\]\[\Rightarrow \quad x_{CM} = 1,96a\]