Càlcul del Camp Elèctric, Potencial i Treball en un Sistema de Tres Càrregues Puntuals

Considereu tres càrregues elèctriques $Q_1 = 3,00 \, \text{nC}$, $Q_2 = -5,00 \, \text{nC}$, $Q_3 = 7,00 \, \text{nC}$ que es troben als punts del pla $P_1 = (1, 2)$, $P_2 = (-2, 1)$ i $P_3 = (0, -2)$, respectivament. Es demana:

(Podeu suposar coneguda la dada $\frac{1}{4\pi\epsilon_0} = 9,00 \cdot 10^9 \, \text{N} \cdot \text{m}^2/\text{C}^2$)

(a) Calculeu el camp elèctric al punt $A = (3, 0)$.

Trobem les components dels vectors que van des de cada càrrega al punt on es vol calcular el camp i els seus mòduls:

$$\vec{r}_1 = \overrightarrow{P_1A} = (2, -2) \Longrightarrow|\vec{r}_1| = r_1 = \sqrt{2^2 + (-2)^2} = \sqrt{8}$$

$$\vec{r}_2 = \overrightarrow{P_2A} = (5, -1) \Longrightarrow|\vec{r}_2| = r_2 = \sqrt{5^2 + (-1)^2} = \sqrt{26}$$

$$\vec{r}_3 = \overrightarrow{P_3A} = (3, 2) \Longrightarrow|\vec{r}_3| = r_3 = \sqrt{3^2 + 2^2} = \sqrt{13}$$

Llavors, el camp total a $A$:

$$\vec{E} = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{Q_1}{r_1^3} \vec{r}_1 + \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{Q_2}{r_2^3} \vec{r}_2 + \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{Q_3}{r_3^3} \vec{r}_3$$

$$= 9 \cdot 10^9 \left[ \frac{3 \cdot 10^{-9}}{(\sqrt{8})^3} \cdot (2, -2) – \frac{5 \cdot 10^{-9}}{(\sqrt{26})^3} \cdot (5, -1) + \frac{7 \cdot 10^{-9}}{(\sqrt{13})^3} \cdot (3, 2) \right]$$

$$= \frac{27}{(\sqrt{8})^3} \cdot (2, -2) – \frac{45}{(\sqrt{26})^3} \cdot (5, -1) + \frac{63}{(\sqrt{13})^3} \cdot (3, 2)$$

$$= (4,72, 0,64) \, \text{N/C}$$

(b) Calculeu el potencial electrostàtic al punt $B = (3, 5)$.

Ens calen els mòduls dels vectors que van de cada càrrega al punt $B$:

$$\vec{r}’_1 = \overrightarrow{P_1B} = (2, 3) \Longrightarrow |\vec{r}’_1| = r’_1 = \sqrt{2^2 + 3^2} = \sqrt{13}$$

$$\vec{r}’_2 = \overrightarrow{P_2B} = (5, 4)\Longrightarrow |\vec{r}’_2| = r’_2 = \sqrt{5^2 + 4^2} = \sqrt{41}$$

$$\vec{r}’_3 = \overrightarrow{P_3B} = (3, 7) \Longrightarrow |\vec{r}’_3| = r’_3 = \sqrt{3^2 + 7^2} = \sqrt{58}$$

Ara és fàcil calcular:

$$V_B = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{Q_1}{r’_1} + \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{Q_2}{r’_2} + \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{Q_3}{r’_3}$$

$$= 9 \cdot 10^9 \left[ \frac{3 \cdot 10^{-9}}{\sqrt{13}} – \frac{5 \cdot 10^{-9}}{\sqrt{41}} + \frac{7 \cdot 10^{-9}}{\sqrt{58}} \right]$$

$$= \frac{27}{\sqrt{13}} – \frac{45}{\sqrt{41}} + \frac{63}{\sqrt{58}} = 8,73 \, \text{V}$$

(c) Calculeu el treball que cal fer per moure una altra càrrega $Q_4 = -2,00 \, \text{nC}$ des de $A$ fins a $B$.

Necessitem calcular el potencial electrostàtic al punt $A$, a partir dels vectors trobats al primer apartat de l’exercici:

$$V_A = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{Q_1}{r_1} + \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{Q_2}{r_2} + \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{Q_3}{r_3}$$

$$= 9 \cdot 10^9 \left[ \frac{3 \cdot 10^{-9}}{\sqrt{8}} – \frac{5 \cdot 10^{-9}}{\sqrt{26}} + \frac{7 \cdot 10^{-9}}{\sqrt{13}} \right]$$

$$= \frac{27}{\sqrt{8}} – \frac{45}{\sqrt{26}} + \frac{63}{\sqrt{13}} = 18,19 \, \text{V}$$

Ara, el treball demanat es pot calcular com:

$$W_{A \to B} = Q_4 (V_B – V_A) = -2,00 \cdot 10^{-9} \cdot (8,73 – 18,19) = 1,89 \cdot 10^{-8} \, \text{J}$$