Anàlisi del Moviment d’Electrons en un Canó Electrònic amb Camps Elèctrics Uniformes

Un canó electrònic que dispara electrons els accelera, mitjançant un camp elèctric uniforme generat per dues plaques metàl·liques (A i B), des del repòs fins a una velocitat de $2,00 \cdot 10^6 \, \text{m/s}$ (figura 1). Dins del canó, els electrons inicien el recorregut a la placa $A$ i viatgen cap a la placa $B$, per on surten horitzontalment cap a la dreta per un petit orifici. Les dues plaques són paral·leles i estan separades per $4,00 \, \text{cm}$.

a) Calculeu la diferència de potencial entre les dues plaques i indiqueu quina placa té el potencial més alt i quina té el potencial més baix. Dibuixeu la figura 1 i representeu-hi les línies de camp elèctric entre les dues plaques.

b) Més endavant, els electrons passen entre dues altres plaques, que generen un camp elèctric uniforme de $500 \, \text{N/C}$ vertical cap amunt (figura 2). Calculeu l’acceleració dels electrons quan estiguin sota l’acció d’aquest camp elèctric i les dues components de la velocitat en sortir del recinte on hi ha el camp elèctric.

DADES:

• $|e| = 1,6 \cdot 10^{-19} \, \text{C}$
• $m_e = 9,11 \cdot 10^{-31} \, \text{kg}$

NOTA: Considereu negligible el camp gravitatori.

(a) El treball que fa el camp elèctric sobre l’electró s’inverteix en variar la seva energia cinètica:

$$W = q \Delta V = \frac{1}{2} m v^2$$

D’on:

$$\Delta V = \frac{m v^2}{2 q} = \frac{9,11 \cdot 10^{-31} \cdot (2 \cdot 10^6)^2}{2 \cdot (1,6 \cdot 10^{-19})} = 11,39 \, \text{V}$$

Les càrregues negatives es mouen espontàniament, tal com vam veure a teoria, de potencials baixos a alts, per tant $V_B > V_A$.

L’electró descriurà un moviment parabòlic, tal com vam veure a la teoria, i serà atret cap a la placa inferior. En aquestes condicions, podem escriure:

$$F = ma \rightarrow Eq = ma \rightarrow a = \frac{Eq}{m} = \frac{500 \cdot 1,6 \cdot 10^{-19}}{9,11 \cdot 10^{-31}} = 8,78 \cdot 10^{13} \, \text{m/s}^2$$

Les components de la velocitat (en mòdul) per a qualsevol temps són:

$$v_x = v_{0x} = 2 \cdot 10^6 \, \text{m/s}$$

$$v_y = v_{0y} + at$$

El temps que tarda a sortir de la regió on hi ha camp elèctric és justament el que tarda a recórrer la longitud de 2 cm que tenen les plaques. Aleshores:

$$x = v_x t \rightarrow t = \frac{x}{v_x} = \frac{0,02}{2 \cdot 10^6} = 10^{-8} \, \text{s}$$

Llavors, per aquest instant de temps:

$$v_x = v_{0x} = 2 \cdot 10^6 \, \text{m/s}$$

$$v_y = v_{0y} + at = 0 + 8,78 \cdot 10^{13} \cdot 10^{-8} = 8,78 \cdot 10^5 \, \text{m/s}$$

Com hem comentat abans, l’electró corbarà la seva trajectòria cap avall.