Càlcul del Camp Elèctric i Càrregues en un Sistema de Plaques Paral·leles amb Partícules de Pols

Per obtenir un camp elèctric vertical aproximadament uniforme de $5.000 \, \text{N/C}$ i dirigit cap amunt, disposem de dues plaques metàl·liques paral·leles separades $d = 10,0 \, \text{mm} = 0,01 \, \text{m}$, a les quals apliquem una diferència de potencial.

a) Feu un esquema del muntatge en què indiqueu el signe de la càrrega de cada placa i representeu-hi les línies del camp elèctric. Calculeu la diferència de potencial entre les plaques i justifiqueu el signe del resultat.

b) Dues partícules de pols, de $m = 0,50 \, \mu\text{g} = 5,0 \cdot 10^{-7} \, \text{kg}$ de massa cadascuna, es troben entre les dues plaques. Una de les partícules (A) queda suspesa en equilibri, i l’altra (B) es mou amb una acceleració de $14,7 \, \text{m/s}^2$ cap avall. Determineu la càrrega elèctrica de cada partícula. Considereu que entre les plaques no hi ha aire.

DADA: $g = 9,81 \, \text{m/s}^2$

---

a) Esquema i diferència de potencial

Esquema del muntatge:

Càlcul de la diferència de potencial:
La relació entre el camp elèctric $E$, la diferència de potencial $\Delta V$ i

la distància $d$ entre les plaques és:

$$E = \frac{\Delta V}{d}$$

Reorganitzem per a ( \Delta V ):

$$\Delta V = E \cdot d$$

Substituïm els valors:

$$\Delta V = 5.000 \cdot 0,01 = 50 \, \text{V}$$

Per tant, la diferència de potencial és:

$$\Delta V = 50 \, \text{V}$$

Justificació del signe:
El camp elèctric $\vec{E}$ apunta cap amunt, de la placa inferior (potencial $V_{\text{inferior}}$) cap a la placa superior (potencial $V_{\text{superior}}$). Com que $E = -\frac{\Delta V}{\Delta y}$, i el camp és positiu en la direcció positiva de l’eix $y$, tenim:

$$\Delta V = V_{\text{superior}} – V_{\text{inferior}}$$

Com que $E$ és positiu i apunta cap amunt, $V_{\text{superior}} < V_{\text{inferior}}$, de manera que:

$$\Delta V = V_{\text{superior}} – V_{\text{inferior}} = -50 \, \text{V}$$

Això implica que la placa inferior (positiva) té un potencial més alt ($V_{\text{inferior}}$) i la placa superior (negativa) té un potencial més baix ($V_{\text{superior}}$). Per tant, la diferència de potencial és $\Delta V = 50 \, \text{V}$, amb la placa inferior a un potencial més alt.

---

b) Càrrega elèctrica de les partícules

Partícula A (en equilibri):
La partícula A està suspesa en equilibri, per la qual cosa la força elèctrica $\vec{F}_e = q_A \vec{E}$ ha de compensar exactament el pes $\vec{F}_g = m g$. Com que el camp elèctric $\vec{E}$ és cap amunt ($E = 5.000 \, \text{N/C}$) i el pes actua cap avall, tenim:

$$q_A E = m g$$

La força elèctrica ha d’actuar cap amunt per contrarestar el pes, de manera que $q_A$ ha de ser positiva (ja que $\vec{F}_e = q_A \vec{E}$ i $\vec{E}$ és cap amunt). Substituïm:

$$q_A \cdot 5.000 = 5,0 \cdot 10^{-7} \cdot 9,81$$

$$q_A = \frac{5,0 \cdot 10^{-7} \cdot 9,81}{5.000} = \frac{4,905 \cdot 10^{-6}}{5.000} = 9,81 \cdot 10^{-10} \, \text{C}$$

Per tant, la càrrega de la partícula A és:

$$q_A \approx 9,81 \cdot 10^{-10} \, \text{C} \quad (\text{positiva})$$

Partícula B (acceleració cap avall):
La partícula B es mou amb una acceleració $a = 14,7 \, \text{m/s}^2$ cap avall. La força neta sobre la partícula és:

$$\vec{F}_{\text{net}} = m \vec{a} = m (\vec{F}_e + \vec{F}_g)$$

La força elèctrica és $\vec{F}_e = q_B \vec{E}$, i el pes és $\vec{F}_g = -m g$ (cap avall). La força neta cap avall (direcció negativa de l’eix $y$) és:

$$m a = q_B E – m g$$

Com que l’acceleració és cap avall ($a = -14,7 \, \text{m/s}^2$), tenim:

$$m (-14,7) = q_B \cdot 5.000 – 5,0 \cdot 10^{-7} \cdot 9,81$$

Substituïm els valors:

$$5,0 \cdot 10^{-7} \cdot (-14,7) = q_B \cdot 5.000 – 5,0 \cdot 10^{-7} \cdot 9,81$$

$$-7,35 \cdot 10^{-6} = q_B \cdot 5.000 – 4,905 \cdot 10^{-6}$$

$$q_B \cdot 5.000 = -7,35 \cdot 10^{-6} + 4,905 \cdot 10^{-6} = -2,445 \cdot 10^{-6}$$

$$q_B = \frac{-2,445 \cdot 10^{-6}}{5.000} = -4,89 \cdot 10^{-10} \, \text{C}$$

Per tant, la càrrega de la partícula B és:

$$q_B \approx -4,89 \cdot 10^{-10} \, \text{C} \quad (\text{negativa})$$

---

Resum de resultats

a)

• Diferència de potencial: $\Delta V = 50 \, \text{V}$.
• Signes de les plaques: Placa inferior positiva ($+Q$), placa superior negativa ($-Q$). La placa inferior té el potencial més alt ($V_{\text{inferior}}$), i la superior el més baix ($V_{\text{superior}}$).
• Esquema: Línies de camp elèctric rectes de la placa inferior (positiva) cap a la superior (negativa).

b)

• Càrrega de la partícula A: $q_A \approx 9,81 \cdot 10^{-10} \, \text{C}$ (positiva).
• Càrrega de la partícula B: $q_B \approx -4,89 \cdot 10^{-10} \, \text{C}$ (negativa).