Anàlisi del Potencial, Acceleració i Energia d’un Dipol Elèctric

Un dipol elèctric és un sistema constituït per dues càrregues del mateix valor i de signe contrari, separades per una distància fixa. Sabem que la càrrega positiva d’un dipol està situada en el punt $(0, 0)$, que la negativa és en el punt $(3, 0)$ i que el valor absolut de cada una de les càrregues és $10 \, \text{C}$. Calculeu: a) El potencial elèctric creat pel dipol en el punt $(0, 4)$. b) L’acceleració que experimenta un protó situat en el punt mitjà del segment que uneix les dues càrregues del dipol, si el deixem inicialment en repòs en aquest punt. c) L’energia necessària per a separar les càrregues del dipol fins a una distància doble de la inicial.

NOTA: Les coordenades s’expressen en metres.

DADES: $q_{\text{protó}} = 1,60 \cdot 10^{-19} \, \text{C}$; $m_{\text{protó}} = 1,67 \cdot 10^{-27} \, \text{kg}$; $k = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} = 9,00 \cdot 10^9 \, \text{N} \cdot \text{m}^2/\text{C}^2$.

(a) Siguin:

• $A = (0, 0)$, $B = (3, 0)$, $C = (1.5, 0)$, $P = (0, 4)$
• $Q_A = 10^{-4} \, \text{C}$, $Q_B = -10^{-4} \, \text{C}$

Per calcular el potencial elèctric en $P$, necessitem els vectors:

• $\overrightarrow{AP} = (0, 4) – (0, 0) = (0, 4)$
• $\overrightarrow{BP} = (0, 4) – (3, 0) = (-3, 4)$

amb mòdul:

• $|\overrightarrow{AP}| = \sqrt{0^2 + 4^2} = 4 \, \text{m}$
• $|\overrightarrow{BP}| = \sqrt{(-3)^2 + 4^2} = 5 \, \text{m}$

Llavors:
$$V_P = V_P^A + V_P^B = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{Q_A}{|\overrightarrow{AP}|} + \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{Q_B}{|\overrightarrow{BP}|}$$
$$= 9 \cdot 10^9 \cdot 10^{-4} \left[ \frac{1}{4} – \frac{1}{5} \right]$$
$$= 9 \cdot 10^5 \cdot 0,05 = 4,5 \cdot 10^4 \, \text{V}$$

(b) Per trobar l’acceleració que pateix el protó al punt $C$, calcularem la força elèctrica, que al seu torn depèn del camp elèctric. Ara necessitem els vectors:

• $\overrightarrow{AC} = (1.5, 0) – (0, 0) = (1.5, 0)$
• $\overrightarrow{BC} = (1.5, 0) – (3, 0) = (-1.5, 0)$

amb mòdul:

• $|\overrightarrow{AC}| = \sqrt{(1.5)^2 + 0^2} = 1.5 \, \text{m}$
• $|\overrightarrow{BC}| = \sqrt{(-1.5)^2 + 0^2} = 1.5 \, \text{m}$

El camp serà doncs:
$$\vec{E}_C = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{Q_A}{|\overrightarrow{AC}|^3} \overrightarrow{AC} + \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{Q_B}{|\overrightarrow{BC}|^3} \overrightarrow{BC}$$
$$= 9 \cdot 10^9 \cdot 10^{-4} \cdot \frac{1}{(1.5)^3} \left[ 1 \cdot (1.5, 0) + (-1) \cdot (-1.5, 0) \right]$$
$$= 9 \cdot 10^5 \cdot \frac{1}{3.375} \cdot (1.5 + 1.5, 0)$$
$$= 9 \cdot 10^5 \cdot \frac{3}{3.375} \cdot (1, 0) \approx 8 \cdot 10^5 \, \text{N/C}$$

Ara podem calcular:
$$\vec{a} = \frac{\vec{F}}{m_p} = \frac{q_p \cdot \vec{E}}{m_p}$$
$$= \frac{1,6 \cdot 10^{-19} \cdot (8 \cdot 10^5, 0)}{1,67 \cdot 10^{-27}} \approx (7,67 \cdot 10^{13}, 0) \, \text{m/s}^2$$

(c) Calculem la variació d’energia potencial elèctrica:
$$\Delta E = E_f – E_i = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \cdot \frac{Q_A Q_B}{2|\overrightarrow{AB}|} – \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \cdot \frac{Q_A Q_B}{|\overrightarrow{AB}|}$$
$$= -\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \cdot \frac{Q_A Q_B}{|\overrightarrow{AB}|}$$

amb $\overrightarrow{AB} = (3, 0) \rightarrow |\overrightarrow{AB}| = 3 \, \text{m}$. Llavors, substituint els valors coneguts:
$$\Delta E = -\frac{1}{2} \cdot 9 \cdot 10^9 \cdot \frac{-(10^{-4})^2}{3}$$
$$= -\frac{1}{2} \cdot 9 \cdot 10^9 \cdot \frac{-10^{-8}}{3} = 15 \, \text{J} > 0$$

L’energia potencial augmenta, que és el que podíem esperar ja que les càrregues de diferent signe s’atreuen, l’energia potencial que tenen com a parella és negativa i si les separem, aquesta energia s’acosta a zero pels valors negatius, per tant augmenta.