Anàlisi del Camp Elèctric i Potencial d’un Sistema de Dues Càrregues Puntuals

Dues càrregues puntuals de $+2 \, \mu\text{C}$ i $+20 \, \mu\text{C}$ es troben separades per una distància de $2 \, \text{m}$. a) Calculeu el punt, situat entre les dues càrregues, en què el camp elèctric és nul. b) Busqueu el potencial elèctric en un punt situat entre les dues càrregues i a $20 \, \text{cm}$ de la càrrega menor. c) Determineu l’energia potencial elèctrica del sistema format per les dues càrregues.

DADES: $k = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} = 9 \cdot 10^9 \, \text{N} \cdot \text{m}^2 / \text{C}^2$

(a) Situem la càrrega $q_1 = 2 \cdot 10^{-6} \, \text{C}$ a l’origen de coordenades $O = (0, 0)$ i la càrrega $q_2 = 20 \cdot 10^{-6} \, \text{C}$ al punt $A = (2, 0)$. Per calcular el camp elèctric que creen en un punt de coordenades $B = (x, 0)$ situat entre elles, calculem primer els vectors:

• $\overrightarrow{OB} = (x, 0) – (0, 0) = (x, 0)$
• $\overrightarrow{AB} = (x, 0) – (2, 0) = (x – 2, 0) = (- (2 – x), 0)$ (on el vector $\overrightarrow{AB}$ s’ha escrit d’una forma aparentment capriciosa per poder simplificar còmodament més tard)

amb mòdul:

• $|\overrightarrow{OB}| = \sqrt{x^2 + 0^2} = x \, \text{m}$
• $|\overrightarrow{AB}| = \sqrt{(- (2 – x))^2 + 0^2} = (2 – x) \, \text{m}$

Llavors:
$$\vec{E}_B = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{q_1}{|\overrightarrow{OB}|^3} \overrightarrow{OB} + \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{q_2}{|\overrightarrow{AB}|^3} \overrightarrow{AB} = 0$$

$$\frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{q_1}{|\overrightarrow{OB}|^3} \overrightarrow{OB} + \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{q_2}{|\overrightarrow{AB}|^3} \overrightarrow{AB} = 0$$

$$\frac{2 \cdot 10^{-6}}{x^3} \cdot (x, 0) + \frac{20 \cdot 10^{-6}}{(2 – x)^3} \cdot (- (2 – x), 0) = 0$$

$$\frac{2}{x^2} \cdot (1, 0) + \frac{20}{(2 – x)^2} \cdot (-1, 0) = 0$$

$$\frac{2}{x^2} + \frac{20}{(x – 2)^2} \cdot (-1) = 0$$

$$\frac{2}{x^2} = \frac{20}{(x – 2)^2}$$

$$(x – 2)^2 = 10 x^2$$

$$x – 2 = \pm x \sqrt{10}$$

$$x – x \sqrt{10} = 2 \quad \text{o} \quad x + x \sqrt{10} = 2$$

$$x (1 – \sqrt{10}) = 2 \quad \text{o} \quad x (1 + \sqrt{10}) = 2$$

$$x = \frac{2}{1 – \sqrt{10}} \quad \text{o} \quad x = \frac{2}{1 + \sqrt{10}}$$

La única solució que té sentit en el problema és:

$$x = \frac{2}{1 + \sqrt{10}} \approx 0,48 \, \text{m}$$

ja que amb dues càrregues positives el camp elèctric només es pot anul·lar en algun punt situat entre elles.

(b) Sigui $P = (0.2, 0)$ el punt on es vol calcular el potencial elèctric degut a la presència de les dues càrregues. Necessitem els vectors:

• $\overrightarrow{OP} = (0.2, 0) – (0, 0) = (0.2, 0)$
• $\overrightarrow{AP} = (0.2, 0) – (2, 0) = (-1.8, 0)$

amb mòdul:

• $|\overrightarrow{OP}| = \sqrt{(0.2)^2 + 0^2} = 0.2 \, \text{m}$
• $|\overrightarrow{AP}| = \sqrt{(-1.8)^2 + 0^2} = 1.8 \, \text{m}$

Llavors:
$$V_P = V_P^O + V_P^A = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{q_1}{|\overrightarrow{OP}|} + \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{q_2}{|\overrightarrow{AP}|}$$
$$= 9 \cdot 10^9 \cdot 10^{-6} \left[ \frac{2}{0.2} + \frac{20}{1.8} \right]$$
$$= 9 \cdot 10^3 \left[ 10 + 11.11 \right] \approx 1,9 \cdot 10^5 \, \text{V}$$

(c) Per trobar l’energia potencial elèctrica de les dues càrregues, calculem el treball que cal fer per dur-les des de l’infinit fins al punt on es troben.

El treball per dur la càrrega $q_1$ al punt $O$ des de l’infinit:
$$W_{\infty \to O} = q_1 \cdot (V_O – V_\infty) = q_1 \cdot (0 – 0) = 0 \, \text{J}$$

quan $q_1$ es dirigeix a $O$, no hi ha cap altra càrrega present i el potencial en $O$ val zero.

Ara, el treball per dur la càrrega $q_2$ al punt $A$ des de l’infinit:
$$W_{\infty \to A} = q_2 \cdot (V_A – V_\infty) = q_2 \cdot \left( \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{q_1}{|\overrightarrow{OA}|} – 0 \right)$$
$$= \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{q_1 q_2}{|\overrightarrow{OA}|}$$

quan $q_2$ arriba a $A$, sentirà l’efecte del potencial que crea $q_1$ en aquest punt.

Llavors, amb:

• $\overrightarrow{OA} = (2, 0) – (0, 0) = (2, 0) \rightarrow |\overrightarrow{OA}| = \sqrt{2^2 + 0^2} = 2 \, \text{m}$

L’energia potencial elèctrica del sistema serà la suma:
$$W_{\infty \to O} + W_{\infty \to A} = 0 + \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{q_1 q_2}{|\overrightarrow{OA}|}$$
$$= 9 \cdot 10^9 \cdot \frac{2 \cdot 10^{-6} \cdot 20 \cdot 10^{-6}}{2}$$
$$= 9 \cdot 10^9 \cdot \frac{40 \cdot 10^{-12}}{2} = 0,18 \, \text{J}$$