Càlcul del Camp Elèctric i Treball en un Quadrat amb Càrregues Puntuals

En el quadrat de la figura, de $2,00$ m de costat, hi ha dues càrregues $Q_1 = 9,00 \, \mu\text{C}$ i $Q_2 = -9,00 \, \mu\text{C}$ als vèrtexs de l’esquerra. a) Determineu la intensitat del camp elèctric al centre del quadrat. b) Al centre del quadrat hi situem una tercera càrrega $Q_3 = 7,00 \, \mu\text{C}$. Calculeu el treball que farà la força elèctrica que actua sobre $Q_3$ quan la traslladem del centre del quadrat al vèrtex inferior dret.

DADA: $k = 9,00 \cdot 10^9 \, \text{N} \cdot \text{m}^2 \cdot \text{C}^{-2}$

(a) Situem la càrrega $Q_2$ a l’origen de coordenades $O = (0, 0)$, de manera que les coordenades de $Q_1$ són $A = (0, 2)$ i el centre del quadrat és $C = (1, 1)$. En aquestes condicions, el camp elèctric a $C$ es pot calcular un cop trobats els vectors:

$$\overrightarrow{AC} = (1, 1) – (0, 2) = (1, -1)$$

$$\overrightarrow{OC} = (1, 1) – (0, 0) = (1, 1)$$

amb mòduls:

$$|\overrightarrow{AC}| = \sqrt{(1)^2 + (-1)^2} = \sqrt{2} \, \text{m}$$

$$|\overrightarrow{OC}| = \sqrt{(1)^2 + (1)^2} = \sqrt{2} \, \text{m}$$

Llavors:

$$\vec{E}_C = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{Q_1}{|\overrightarrow{AC}|^3} \overrightarrow{AC} + \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{Q_2}{|\overrightarrow{OC}|^3} \overrightarrow{OC}$$

$$= 9 \cdot 10^9 \cdot \frac{9 \cdot 10^{-6}}{(\sqrt{2})^3} \cdot (1, -1) + 9 \cdot 10^9 \cdot \frac{-9 \cdot 10^{-6}}{(\sqrt{2})^3} \cdot (1, 1)$$

$$= \frac{9}{2} \cdot 10^9 \cdot 10^{-6} \frac{1}{(\sqrt{2})^3} \left[ (1, -1) – (1, 1) \right] = \left( 0, -5.73 \cdot 10^4 \right) \, \text{N/C}$$

(b) El treball que fa el camp elèctric per moure una càrrega $Q_3$ des del punt $C$ al punt $D = (2, 0)$ és:

$$W_{C \to D} = -Q_3 (V_D – V_C)$$

Llavors, calculem el potencial al punt $C = (1, 1)$:

$$V_C = V_C^1 + V_C^2 = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{Q_1}{|\overrightarrow{AC}|} + \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{Q_2}{|\overrightarrow{OC}|}$$

$$= 9 \cdot 10^9 \cdot \frac{9 \cdot 10^{-6}}{\sqrt{2}} + 9 \cdot 10^9 \cdot \frac{-9 \cdot 10^{-6}}{\sqrt{2}} = 0 \, \text{V}$$

Per calcular el potencial al punt $D = (2, 0)$, necessitem els vectors:

$$\overrightarrow{AD} = (2, 0) – (0, 2) = (2, -2)$$

$$\overrightarrow{OD} = (2, 0) – (0, 0) = (2, 0)$$

amb mòduls:

$$|\overrightarrow{AD}| = \sqrt{(2)^2 + (-2)^2} = 2\sqrt{2} \, \text{m}$$

$$|\overrightarrow{OD}| = \sqrt{(2)^2 + (0)^2} = 2 \, \text{m}$$

Llavors:

$$V_D = V_D^1 + V_D^2 = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{Q_1}{|\overrightarrow{AD}|} + \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{Q_2}{|\overrightarrow{OD}|}$$

$$= 9 \cdot 10^9 \cdot \frac{9 \cdot 10^{-6}}{2\sqrt{2}} + 9 \cdot 10^9 \cdot \frac{-9 \cdot 10^{-6}}{2} = -1.19 \cdot 10^4 \, \text{V}$$

Finalment:

$$W_{C \to D} = Q_3 (V_D – V_C) = 7 \cdot 10^{-6} \cdot (-1.19 \cdot 10^4 – 0) = -8.30 \cdot 10^{-2} \, \text{J}$$