Anàlisi de l’Equilibri i el Camp Elèctric en Esferes Carregades Penjants

Dues esferes metàl·liques massisses pengen cadascuna d’un fil no conductor, com es mostra a la figura. Les dues esferes tenen la mateixa massa i la mateixa càrrega negativa de valor $-5,80 \, \mu\text{C}$ i es troben en equilibri formant un angle de $30^\circ$ amb la vertical. La distància des del punt $P$ fins al centre de cada esfera és d’$1,00$ m. a) Calculeu el valor de la massa de cadascuna de les esferes. b) Calculeu el camp elèctric total (mòdul, direcció i sentit) al punt $P$.

DADES: $g = 9,81 \, \text{m} \cdot \text{s}^{-2}$, $k = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} = 8,99 \cdot 10^9 \, \text{N} \cdot \text{m}^2 \cdot \text{C}^{-2}$

Representem la situació

(a) Escrivim les equacions que corresponen a l’equilibri en els eixos horitzontal i vertical:

$$\begin{cases}
T_x = F_e \\
T_y = mg
\end{cases}$$

que es poden escriure (sabent que la corda té una longitud $L$) com:

$$\begin{cases}
T \sin \alpha = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{q^2}{(2L \sin \alpha)^2} \\
T \cos \alpha = mg
\end{cases}$$

Dividint les equacions de dalt a baix:

$$\tan \alpha = \frac{\frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{q^2}{(2L \sin \alpha)^2}}{mg}$$

D’on:

$$m = \frac{\frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{q^2}{(2L \sin \alpha)^2}}{g \tan \alpha} = \frac{9 \cdot 10^9 \cdot (-5,8 \cdot 10^{-6})^2}{(2 \cdot 1 \cdot \sin 30^\circ)^2} \cdot \frac{1}{9,81 \cdot \tan 30^\circ} = 5,35 \cdot 10^{-2} \, \text{kg}$$

(b) Per calcular el camp elèctric que creen les càrregues $Q$ al punt $P$, fem servir un sistema de coordenades on aquest punt sigui l’origen. Llavors, les càrregues es troben situades als punts:

$$A = (-L \sin \alpha, -L \cos \alpha) = \left( -\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2} \right)$$

$$B = (L \sin \alpha, -L \cos \alpha) = \left( \frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2} \right)$$

Ara necessitem els vectors (unitaris per la geometria de la figura):

$$\overrightarrow{AP} = (0, 0) – \left( -\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2} \right) = \left( \frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2} \right)$$

$$\overrightarrow{BP} = (0, 0) – \left( \frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2} \right) = \left( -\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2} \right)$$

Llavors, el camp elèctric a $P$ es calcula com:

$$\vec{E}_P = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{Q}{|\overrightarrow{AP}|^3} \overrightarrow{AP} + \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{Q}{|\overrightarrow{BP}|^3} \overrightarrow{BP}$$

$$= 9 \cdot 10^9 \cdot \frac{-5,8 \cdot 10^{-6}}{1^3} \cdot \left( \frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2} \right) + 9 \cdot 10^9 \cdot \frac{-5,8 \cdot 10^{-6}}{1^3} \cdot \left( -\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2} \right)$$

$$= \left( 0, -9,04 \cdot 10^4 \right) \, \text{N/C}$$