Anàlisi de Camp Elèctric, Potencial i Treball en un Sistema de Càrregues Puntuals

Dues càrregues elèctriques puntuals de $+3\mu$C i $-7\mu$C es troben situades, respectivament, als punts $(0, 3)$ i $(0, -5)$ d’un pla. Calculeu: a) El camp elèctric que creen aquestes càrregues al punt $P(4, 0)$. b) La diferència de potencial $V(O) – V(P)$, on $O$ és el punt $(0, 0)$. c) El treball que cal fer per traslladar una càrrega de $+5\mu$C des del punt $O(0, 0)$ fins al punt $P(4, 0)$. Interpreteu el signe del resultat.

NOTA: Les coordenades dels punts s’expressen en metres.

DADES: $k = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} = 9 \cdot 10^9 \, \text{N} \cdot \text{m}^2 \cdot \text{C}^{-2}$

Fixem la notació de les dades de l’exercici:

$$A = (0, 3), \, B = (0, -5), \, P = (4, 0), \, O = (0, 0)$$

$$q_A = 3 \, \mu\text{C}, \, q_B = -7 \, \mu\text{C}$$

(a) Per començar a calcular el camp elèctric que creen $q_A$ i $q_B$ al punt $P$, necessitem els vectors:

$$\overrightarrow{AP} = (4, 0) – (0, 3) = (4, -3)$$

$$\overrightarrow{BP} = (4, 0) – (0, -5) = (4, 5)$$

amb mòduls:

$$|\overrightarrow{AP}| = \sqrt{(4)^2 + (-3)^2} = 5 \, \text{m}$$

$$|\overrightarrow{BP}| = \sqrt{(4)^2 + (5)^2} = \sqrt{41} \, \text{m}$$

Ara podem calcular:

$$\vec{E}_P = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{q_A}{|\overrightarrow{AP}|^3} \overrightarrow{AP} + \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{q_B}{|\overrightarrow{BP}|^3} \overrightarrow{BP}$$

$$= 9 \cdot 10^9 \cdot \frac{3 \cdot 10^{-6}}{5^3} \cdot (4, -3) + 9 \cdot 10^9 \cdot \frac{-7 \cdot 10^{-6}}{(\sqrt{41})^3} \cdot (4, 5)$$

$$= 9 \cdot 10^9 \cdot 10^{-6} \left[ \frac{3}{5^3} \cdot (4, -3) – \frac{7}{(\sqrt{41})^3} \cdot (4, 5) \right]$$

$$= (-95.897, -1847.87) \, \text{N/C}$$

(b) El potencial elèctric al punt $P$:

$$V_P = V_P^A + V_P^B = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{q_A}{|\overrightarrow{AP}|} + \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{q_B}{|\overrightarrow{BP}|}$$

$$= 9 \cdot 10^9 \cdot \frac{3 \cdot 10^{-6}}{5} + 9 \cdot 10^9 \cdot \frac{-7 \cdot 10^{-6}}{\sqrt{41}} = -4438.95 \, \text{V}$$

Per trobar el potencial elèctric al punt $O$, calculem els vectors:

$$\overrightarrow{AO} = (0, 0) – (0, 3) = (0, -3)$$

$$\overrightarrow{BO} = (0, 0) – (0, -5) = (0, 5)$$

amb mòduls:

$$|\overrightarrow{AO}| = \sqrt{(0)^2 + (-3)^2} = 3 \, \text{m}$$

$$|\overrightarrow{BO}| = \sqrt{(0)^2 + (5)^2} = 5 \, \text{m}$$

Llavors:

$$V_O = V_O^A + V_O^B = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{q_A}{|\overrightarrow{AO}|} + \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{q_B}{|\overrightarrow{BO}|}$$

$$= 9 \cdot 10^9 \cdot \frac{3 \cdot 10^{-6}}{3} + 9 \cdot 10^9 \cdot \frac{-7 \cdot 10^{-6}}{5} = -3600 \, \text{V}$$

Finalment:

$$V_O – V_P = -3600 – (-4438.95) = 838.95 \, \text{V}$$

(c) El treball necessari per portar una càrrega de $5 \, \mu\text{C}$ des del punt $O$ fins al punt $P$:

$$W_{O \to P} = 5 \cdot 10^{-6} (V_P – V_O) = 5 \cdot 10^{-6} \cdot (-838.95) = -0.0042 \, \text{J}$$

Com que el resultat és negatiu, la conclusió és que el treball el realitza el camp elèctric.