Càlcul de Forces i Treball Elèctric en un Sistema de Càrregues Puntuals

Tenim tres partícules carregades, $Q_1 = 3,0 \, \mu C$, $Q_2 = -5,0 \, \mu C$, $Q_3 = -8,0 \, \mu C$, situades, respectivament, als punts $P_1 = (-1,0,3,0)$, $P_2 = (3,0,3,0) ) i $P_3 = (3,0,0,0)$.

a) Dibuixeu les forces que exerceixen $Q_1$ i $Q_2$ sobre $Q_3$. Calculeu la força elèctrica total, expressada en coordenades cartesianes, que actua sobre $Q_3$.

b) Calculeu el treball que fa la força elèctrica sobre $Q_3$ quan aquesta càrrega es desplaça des del punt $P_3$, que ocupa inicialment, fins al punt $P_4 = (-1,0,-3,0)$. Interpreteu el signe del resultat.

NOTA: Les coordenades dels punts estan expressades en metres.

DADA: $k = 9,0 \cdot 10^9 \, N \cdot m^2 \cdot C^{-2}$

Representem la situació

(a) Per calcular la força que exerceixen $Q_1$ i $Q_2$ sobre $Q_3$, calcularem el camp elèctric que creen $Q_1$ i $Q_2$ al punt $P_3$. Necessitem els vectors:

$$\overrightarrow{P_1P_3} = (3, 0) – (-1, 3) = (4, -3)$$

$$\overrightarrow{P_2P_3} = (3, 0) – (3, 3) = (0, -3)$$

i els seus mòduls:

$$|\overrightarrow{P_1P_3}| = \sqrt{(4)^2 + (-3)^2} = 5 \, \text{m}$$

$$|\overrightarrow{P_2P_3}| = \sqrt{(0)^2 + (-3)^2} = 3 \, \text{m}$$

Ara podem calcular:

$$\vec{E}_{P_3} = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{Q_1}{|\overrightarrow{P_1P_3}|^3} \overrightarrow{P_1P_3} + \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{Q_2}{|\overrightarrow{P_2P_3}|^3} \overrightarrow{P_2P_3}$$

$$= 9 \cdot 10^9 \cdot \frac{3 \cdot 10^{-6}}{5^3} \cdot (4, -3) + 9 \cdot 10^9 \cdot \frac{-5 \cdot 10^{-6}}{3^3} \cdot (0, -3)$$

$$= 9 \cdot 10^9 \cdot 10^{-6} \left[ \frac{3}{5^3} \cdot (4, -3) – \frac{5}{3^3} \cdot (0, -3) \right]$$

$$= 9 \cdot 10^3 \cdot \left( \frac{12}{125}, \frac{1634}{3375} \right)$$

$$= \left( \frac{108000}{125}, \frac{14706000}{3375} \right) \, \text{N/C}$$

Llavors, la força que experimenta $Q_3$:

$$\vec{F} = q \vec{E} = Q_3 \vec{E}_{P_3} = -8 \cdot 10^{-6} \cdot \left( \frac{108000}{125}, \frac{4896000}{1125} \right) = (-0.0069, -0.0348) \, \text{N}$$

(b) El treball requerit per portar la càrrega $Q_3$ des del punt $P_3$ a $P_4$ el calcularem amb:

$$W_{P_3 \to P_4} = Q_3 (V_{P_4} – V_{P_3})$$

Llavors, calculem el potencial elèctric que creen les càrregues $Q_1$ i $Q_2$ en aquests dos punts:

$$V_{P_3} = V_{P_3}^1 + V_{P_3}^2 = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{Q_1}{|\overrightarrow{P_1P_3}|} + \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{Q_2}{|\overrightarrow{P_2P_3}|} = 9 \cdot 10^9 \cdot \frac{3 \cdot 10^{-6}}{5} + 9 \cdot 10^9 \cdot \frac{-5 \cdot 10^{-6}}{3} = -9600 \, \text{V}$$

Hem de fer un càlcul semblant per al punt $P_4$, però abans hem de calcular els vectors:

$$\overrightarrow{P_1P_4} = (-1, -3) – (-1, 3) = (0, -6)$$

$$\overrightarrow{P_2P_4} = (-1, -3) – (3, -3) = (-4, -6)$$

amb mòduls:

$$|\overrightarrow{P_1P_4}| = \sqrt{(0)^2 + (-6)^2} = 6 \, \text{m}$$

$$|\overrightarrow{P_2P_4}| = \sqrt{(-4)^2 + (-6)^2} = 2\sqrt{13} \, \text{m}$$

Ara:

$$V_{P_4} = V_{P_4}^1 + V_{P_4}^2 = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{Q_1}{|\overrightarrow{P_1P_4}|} + \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{Q_2}{|\overrightarrow{P_2P_4}|} = 9 \cdot 10^9 \cdot \frac{3 \cdot 10^{-6}}{6} + 9 \cdot 10^9 \cdot \frac{-5 \cdot 10^{-6}}{2\sqrt{13}} = -1740 \, \text{V}$$

Finalment:

$$W_{P_3 \to P_4} = Q_3 (V_{P_4} – V_{P_3}) = -8 \cdot 10^{-6} \cdot (-1740 – (-9600)) = -0.06288 \, \text{J}$$

Hem calculat el treball necessari per moure la càrrega. Com que el resultat és negatiu, interpretem que el treball el realitza el camp elèctric.