Càlcul de Velocitats i Acceleracions en un Disc Compacte

Un punt a la vora d’un disc compacte està a $6,00$ cm de l’eix de rotació. Calculeu la velocitat tangencial, l’acceleració tangencial i l’acceleració centrípeta d’aquest punt quan el disc gira a una velocitat angular constant de $\mathbf{300}$ rev/min.

Donats:

• Distància del punt a l’eix de rotació: $r = 6,00 \, \text{cm} = 0,0600 \, \text{m}$
• Velocitat angular: $\omega = 300 \, \text{rev/min}$

1. Conversió de la velocitat angular a rad/s

1 revolució = $2\pi \, \text{rad}$, i 1 minut = 60 segons.

$$\omega = 300 \, \text{rev/min} \times \frac{2\pi \, \text{rad}}{1 \, \text{rev}} \times \frac{1 \, \text{min}}{60 \, \text{s}} = \frac{300 \times 2\pi}{60} \approx 31,42 \, \text{rad/s}$$

2. Velocitat tangencial ($v$)

La velocitat tangencial es calcula com $v = r \omega$:

$$v = 0,0600 \, \text{m} \times 31,42 \, \text{rad/s} \approx 1,885 \, \text{m/s}$$

3. Acceleració tangencial ($a_t$)

Com que la velocitat angular és constant, l’acceleració angular $\alpha = 0$, i per tant l’acceleració tangencial $a_t = r \alpha = 0 \, \text{m/s}^2$.

4. Acceleració centrípeta ($a_c$)

L’acceleració centrípeta es calcula com $a_c = \frac{v^2}{r}$ o $a_c = r \omega^2$:

$$a_c = r \omega^2 = 0,0600 \, \text{m} \times (31,42 \, \text{rad/s})^2 \approx 0,0600 \times 987,3 \approx 59,24 \, \text{m/s}^2$$

Resultats finals:

• Velocitat tangencial: $\approx 1,89 \, \text{m/s}$
• Acceleració tangencial: $0 \, \text{m/s}^2$
• Acceleració centrípeta: $\approx 59,2 \, \text{m/s}^2$