Càlcul de Temps, Voltes i Acceleració en un Moviment Circular Accelerat

Una roda gira inicialment amb una velocitat angular de $20$ rpm i frena fins a aturar-se amb una acceleració angular \( \alpha = -1 \, \text{rad/s}^2 \). Calcular: a) El temps emprat per frenar b) Les voltes que dóna mentre frena c) L’acceleració centrípeta inicial si el radi de la roda és \( R = 1 \, \text{m} \)

Es tracta d’un problema de moviment circular uniformement accelerat (MCUA). a) Primer passem la velocitat angular de rpm a rad/s, \[\omega_0 = \frac{20 \cdot 2\pi}{60} = \frac{40\pi}{60} = \frac{2\pi}{3} = 2,09 \, \text{rad/s}\]Usem ara la fórmula \[\omega = \omega_0 + \alpha t\]Com que la velocitat angular final és 0 perquè s’atura, de la fórmula 2 desglossem el temps \[t = \frac{\omega – \omega_0}{\alpha} = \frac{0 – \frac{2\pi}{3}}{-1} = \frac{\frac{2\pi}{3}}{3} = 2,09 \, \text{s}.\]b) Les voltes es calculen a partir de l’angle \( \varphi \), \[\varphi = \omega_0 t + \frac{1}{2} \alpha t^2 = \frac{2\pi}{3} \cdot \frac{2\pi}{3} + \frac{1}{2} \cdot (-1) \cdot \left(\frac{2\pi}{3}\right)^2 = 2,193 \, \text{rad}\]i per passar a voltes dividim per \( 2\pi \), \[\text{Número de voltes} = \frac{2,193}{2\pi} = 0,34 \, \text{voltes}\]c) Per la fórmula de l’acceleració centrípeta, \[a_c = \omega^2 R\]on \( \omega \) és en realitat la velocitat angular inicial, \( \omega_0 \), \[a_c = \left(\frac{2\pi}{3}\right)^2 \cdot 1 = 4,386 \, \text{m/s}^2\]