Càlcul de l’Equació de la Recta Tangent a una Funció Quadràtica

Quina és l’equació de la recta tangent a la gràfica de la funció \( f(x) = 2 – x^2 \) en el punt \( x = -2 \)?

Podem trobar l’equació d’una recta si en coneixem, per exemple, un punt i el pendent. El punt és de la gràfica de la funció:\[x = -2 \rightarrow f(-2) = 2 – (-2)^2 = 2 – 4 = -2 \rightarrow P(-2, -2)\]El pendent és \( m = f'(-2) \). Fem-ne el càlcul.\[f'(-2) = \lim_{h \to 0} \frac{f(-2 + h) – f(-2)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{2 – (-2 + h)^2 – (-2)}{h} =\]\[= \lim_{h \to 0} \frac{2 – 4 + 4h – h^2 + 2}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{4h – h^2}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{h(4 – h)}{h} = \lim_{h \to 0} (4 – h) = 4\]Considerant la forma explícita de l’equació de la recta \( y = mx + n \) i substituint, tenim:\[-2 = 4 \cdot (-2) + n \rightarrow n = 6\]

L’equació de la recta tangent demandada és \( y = 4x + 6 \).