Càlcul de l’Àrea sota la Corba d’una Funció Cúbica

Calcula l’àrea compresa entre la corba $f(x) = x^3 – 3x^2 – x + 3$ i l’eix OX en l’interval $[-2, 1]$.

Resolució

En primer lloc, cal veure si en aquest interval la funció talla en algun punt l’eix OX. Això es pot saber buscant els punts de tall amb l’eix. És a dir, resolent l’equació:

$$x^3 – 3x^2 – x + 3 = 0$$

Aquesta equació és de tercer grau. Busquem si existeix alguna solució entre els divisors del terme independent 3; $x = 1$ ho és. Per tant, el polinomi $x^3 – 3x^2 – x + 3$ és divisible per $x – 1$. Podem fer la divisió pel mètode de Ruffini i tenim:

$$x^3 – 3x^2 – x + 3 = (x – 1)(x^2 – 2x – 3) = 0$$

Queda per resoldre: $x^2 – 2x – 3 = 0$, que és una equació de segon grau que té les solucions: $x = -1$ i $x = 3$.

En conclusió, la gràfica de $f(x) = x^3 – 3x^2 – x + 3$ talla l’eix de les abscisses en els punts $x = -1$, $x = 1$ i $x = 3$; d’aquests, $x = -1$ és interior a l’interval $[-2, 1]$. Per calcular l’àrea, caldrà considerar els dos intervals $[-2, -1]$ i $[-1, 1]$. L’àrea serà el resultat de la suma de dues integrals que expressarem en valor absolut, ja que no coneixem el signe de la funció en cadascun dels intervals.

Tenint en compte tot això, l’expressió de l’àrea és:

$$A = \left| \int_{-2}^{-1} (x^3 – 3x^2 – x + 3) \, dx \right| + \left| \int_{-1}^{1} (x^3 – 3x^2 – x + 3) \, dx \right| =$$

$$\left[ \frac{x^4}{4} – x^3 – \frac{x^2}{2} + 3x \right]{-2}^{-1} + \left[ \frac{x^4}{4} – x^3 – \frac{x^2}{2} + 3x \right]{-1}^{1} = \left| \frac{-9}{4} – 4 \right| + \left| \frac{7}{4} + \frac{9}{4} \right| = \frac{41}{4} \, u^2$$