Anàlisi de Probabilitats en una Població Animal amb Malaltia

En una població animal, el 60% són mascles. El 20% de les femelles pateixen una certa malaltia, i el 15% dels mascles també la pateixen. Es tria un animal a l’atzar. Calcula: a) La probabilitat que estigui malalt, sabent que és mascle. b) La probabilitat que sigui femella i estigui sana. c) La probabilitat que l’animal triat estigui sa. d) La probabilitat que l’animal sigui femella, sabent que està malalt.

Dades inicials:

• 60% dels animals són mascles: \( P(M) = 0.6 \).

• Per tant, 40% són femelles: \( P(F) = 1 – P(M) = 0.4 \).

• 15% dels mascles pateixen la malaltia: \( P(Mal|M) = 0.15 \).

• 20% de les femelles pateixen la malaltia: \( P(Mal|F) = 0.2 \).

• Per tant:

• Probabilitat que un mascle estigui sa: \( P(Sa|M) = 1 – P(Mal|M) = 1 – 0.15 = 0.85 \).

• Probabilitat que una femella estigui sana: \( P(Sa|F) = 1 – P(Mal|F) = 1 – 0.2 = 0.8 \).

a) Sabent que és mascle, quina és la probabilitat que estigui malalt?Aquesta és una probabilitat condicional. Sabem que:\[ P(Mal|M) = 0.15 \]

Resposta a): La probabilitat que un animal sigui malalt sabent que és mascle és 0.15 (o 15%).

b) Quina és la probabilitat de ser femella i estar sana?Volem calcular \( P(F \cap Sa) \), la probabilitat conjunta de ser femella i estar sana. Utilitzem la regla:\[ P(F \cap Sa) = P(F) \cdot P(Sa|F) \]Substituïm:\[ P(F \cap Sa) = 0.4 \cdot 0.8 = 0.32 \]

Resposta b): La probabilitat que l’animal sigui femella i estigui sana és 0.32 (o 32%).

c) Quina és la probabilitat que l’animal triat estigui sa? Volem calcular \( P(Sa) \), la probabilitat total que l’animal estigui sa. Això es pot calcular sumant les probabilitats que l’animal sigui sa i mascle o sa i femella:\[ P(Sa) = P(Sa \cap M) + P(Sa \cap F) \]On:\[ P(Sa \cap M) = P(M) \cdot P(Sa|M) = 0.6 \cdot 0.85 = 0.51 \]\[ P(Sa \cap F) = P(F) \cdot P(Sa|F) = 0.4 \cdot 0.8 = 0.32 \]Per tant:\[ P(Sa) = 0.51 + 0.32 = 0.83 \]

Resposta c): La probabilitat que l’animal estigui sa és 0.83 (o 83%).

d) Si l’animal triat està malalt, quina és la probabilitat que sigui femella? Volem calcular \( P(F|Mal) \), la probabilitat condicional que l’animal sigui femella sabent que està malalt. Utilitzem la fórmula de Bayes:\[ P(F|Mal) = \frac{P(F \cap Mal)}{P(Mal)} \]

1. Calculem \( P(F \cap Mal) \), la probabilitat que l’animal sigui femella i malalt:\[ P(F \cap Mal) = P(F) \cdot P(Mal|F) = 0.4 \cdot 0.2 = 0.08 \]

2. Calculem \( P(Mal) \), la probabilitat total que l’animal estigui malalt:\[ P(Mal) = P(Mal \cap M) + P(Mal \cap F) \]On:\[ P(Mal \cap M) = P(M) \cdot P(Mal|M) = 0.6 \cdot 0.15 = 0.09 \]\[ P(Mal \cap F) = P(F) \cdot P(Mal|F) = 0.4 \cdot 0.2 = 0.08 \]Per tant:\[ P(Mal) = 0.09 + 0.08 = 0.17 \]

3. Substituïm a la fórmula:\[ P(F|Mal) = \frac{P(F \cap Mal)}{P(Mal)} = \frac{0.08}{0.17} \approx 0.4706 \]

Resposta d): La probabilitat que l’animal sigui femella sabent que està malalt és aproximadament 0.4706 (o 47.06%).

Resum de respostes:

a) 0.15 (15%)

b) 0.32 (32%)

c) 0.83 (83%)

d) 0.4706 (47.06%)