Càlcul de Probabilitats en una Empresa Constructora

Una empresa constructora produeix rajoles de mig quilo que ven a pes. Se sap que el pes en grams de la rajola és una variable aleatòria (v.a.) de distribució normal amb mitjana $498$ g i variància $16$ g². El cost de producció és d’$1$ euro cada $100$ grams, mentre que es ven a $2$ euros per rajola. Anomenem $G$ la v.a. que compta els guanys. (a) Calculeu la probabilitat que una rajola tingui un pes inferior a $490$ grams. (b) Quina és la probabilitat que una rajola tingui un pes entre $480$ i $490$ grams? (c) Expresseu la relació entre les variables $G$ i $X$. Quin és el guany promig per rajola? (d) Quin guany s’obté com a màxim en el $90\%$ dels casos?

(a) $X \sim N(498, \sqrt{16}) = N(498, 4)$.
$$P(X \leq 490) = P\left( \frac{X – 498}{4} \leq \frac{490 – 498}{4} \right) = P(Z \leq -2) = \Phi(-2) = 1 – \Phi(2) = 1 – 0.97725 = 0.02275$$

(b)
$$P(480 \leq X \leq 490) = P\left( \frac{480 – 498}{4} \leq \frac{X – 498}{4} \leq \frac{490 – 498}{4} \right) =$$

$$= P(-4.5 \leq Z \leq -2) = \Phi(-2) – \Phi(-4.5) = (1 – \Phi(2)) – (1 – \Phi(4.5)) = 0.02275 – 0 = 0.02275$$

(c) El cost és 0.01 euros per gram, i la venda és 0.02 euros per gram.
$$G = (0.02 – 0.01)X = 0.01X$$
Guany promig:
$$E(G) = 0.01 \cdot E(X) = 0.01 \cdot 498 = 4.98 \, \text{euros}$$

(d) Com $G = 0.01X$, $G$ és normal.
$$\text{Var}(G) = (0.01)^2 \cdot \text{Var}(X) = 0.0001 \cdot 16 = 0.0016, \quad \sigma_G = \sqrt{0.0016} = 0.04$$
Per tant, $G \sim N(4.98, 0.04)$.
Volem $a$ tal que $P(G \leq a) = 0.9$:
$$P\left( \frac{G – 4.98}{0.04} \leq \frac{a – 4.98}{0.04} \right) = P\left( Z \leq \frac{a – 4.98}{0.04} \right) = 0.9$$
Sabem que $\Phi(1.285) = 0.9$, per tant:
$$\frac{a – 4.98}{0.04} = 1.285 \implies a = 4.98 + 1.285 \cdot 0.04 = 4.98 + 0.0514 = 5.0314$$

Resposta final:

(a) 0.02275 (o 2.275%).

(b) 0.02275 (o 2.275%).

(c) $G = 0.01X$, guany promig: 4.98 euros.

(d) Guany màxim en el 90% dels casos: 5.0314 euros.