Càlcul de les Forces i Acceleracions d’Arrossegament de Pilotes Llançades a l’Aire

Una pilota de beisbol té una massa de $0,149$ kg i un radi de $0,037$ m. Una pilota de tennis de taula té una massa de $3\cdot10^{-3}$ kg i un radi de $0,018$ m. Es llancen ambdues a l’aire a una velocitat horitzontal de $15$ m/s. a) Quina és inicialment la raó entre les forces d’arrossegament que actuen sobre cadascuna de les pilotes? b) Quina és inicialment l’acceleració deguda a la força d’arrossegament que actua sobre cadascuna de les pilotes? Nota: suposeu que \(C_A = 1,0\).

Per resoldre aquest problema, utilitzem l’equació de la força d’arrossegament:\[F_d = \frac{1}{2} \rho C_A A v^2\]On:

• \(\rho \approx 1,2 \, \text{kg/m}^3\) (densitat de l’aire),

• \(C_A = 1,0\) (coeficient d’arrossegament),

• \(A = \pi r^2\) (àrea de la secció transversal),

• \(v = 15 \, \text{m/s}\) (velocitat inicial).

Dades:

– Pilota de beisbol:

• Massa: \(m_b = 0,149 \, \text{kg}\)

• Radi: \(r_b = 0,037 \, \text{m}\)

• Àrea: \(A_b = \pi (0,037)^2 \approx 4,301 \times 10^{-3} \, \text{m}^2\)

– Pilota de tennis de taula:

• Massa: \(m_t = 3 \times 10^{-3} \, \text{kg}\)

• Radi: \(r_t = 0,018 \, \text{m}\)

• Àrea: \(A_t = \pi (0,018)^2 \approx 1,018 \times 10^{-3} \, \text{m}^2\)

a) Raó entre les forces d’arrossegament (\(F_{d,b} / F_{d,t}\))La força d’arrossegament per a cada pilota és:\[F_{d,b} = \frac{1}{2} \rho C_A A_b v^2\]\[F_{d,t} = \frac{1}{2} \rho C_A A_t v^2\]La raó és:\[\frac{F_{d,b}}{F_{d,t}} = \frac{A_b}{A_t} = \left(\frac{r_b}{r_t}\right)^2\]\[\frac{r_b}{r_t} = \frac{0,037}{0,018} \approx 2,0556\]\[\left(\frac{r_b}{r_t}\right)^2 \approx 4,225\]

Resposta

a): La raó entre les forces d’arrossegament és 4,23.

b) Acceleració deguda a la força d’arrossegamentL’acceleració es calcula amb:\[a_d = \frac{F_d}{m}\]

Pilota de beisbol:\[F_{d,b} = 0,6 \times 4,301 \times 10^{-3} \times 225 \approx 0,5806 \, \text{N}\]\[a_{d,b} = \frac{0,5806}{0,149} \approx 3,896 \, \text{m/s}^2\]

Pilota de tennis de taula:\[F_{d,t} = 0,6 \times 1,018 \times 10^{-3} \times 225 \approx 0,1373 \, \text{N}\]\[a_{d,t} = \frac{0,1373}{3 \times 10^{-3}} \approx 45,767 \, \text{m/s}^2\]

Resposta final:

a) La raó entre les forces d’arrossegament (\(F_{d,b} / F_{d,t}\)) és 4,23.

b) L’acceleració deguda a la força d’arrossegament és:

• Per la pilota de beisbol: 3,90 m/s².

• Per la pilota de tennis de taula: 45,8 m/s².