Càlcul de la Potència Necessària per a una Bomba de Reg

Per regar un camp, un pagès necessita fer passar un cabal de \(100 \, \text{l/s}\) per una canonada de \(10 \, \text{m}\) de llargada i \(5 \, \text{cm}\) de diàmetre. Per aconseguir-ho, ha de connectar una bomba a la sèquia. Quina potència haurà de subministrar aquesta bomba? Dada: A \(20 \, \text{ºC}\), la viscositat de l’aigua és \(1,005 \, \text{cp}\). Suposeu que el flux és laminar.

Per calcular la potència necessària de la bomba, hem de determinar la pèrdua de pressió (\(\Delta P\)) a causa del flux laminar a través de la canonada i després calcular la potència (\(P\)) com el producte del cabal (\(Q\)) i la pèrdua de pressió. Suposarem que la bomba només ha de compensar la pèrdua de pressió per fricció (ignorant altres pèrdues, com les de càrrega o les derivades de canvis d’alçada, ja que no s’especifiquen).

Dades proporcionades:

• Cabal: \(Q = 100 \, \text{l/s} = 0,1 \, \text{m}^3/\text{s}\) (conversió: \(1 \, \text{l} = 10^{-3} \, \text{m}^3\)).

• Longitud de la canonada: \(L = 10 \, \text{m}\).

• Diàmetre de la canonada: \(d = 5 \, \text{cm} = 0,05 \, \text{m}\), per tant, radi \(r = \frac{d}{2} = 0,025 \, \text{m}\).

• Viscositat de l’aigua: \(\eta = 1,005 \, \text{cp} = 1,005 \times 10^{-3} \, \text{Pa·s}\).

• Flux laminar (confirmarem aquesta suposició amb el nombre de Reynolds més endavant).

• Densitat de l’aigua a \(20 \, \text{ºC}\): \(\rho = 1000 \, \text{kg/m}^3\) (valor estàndard).

Pas 1: Verificació del flux laminar. Per confirmar que el flux és laminar, calculem el nombre de Reynolds (\(N_R\)):\[N_R = \frac{2 \rho r v}{\eta}\]On \(v\) és la velocitat mitjana del flux. Primer, calculem \(v\) a partir del cabal:\[Q = A \cdot v = \pi r^2 \cdot v\]\[v = \frac{Q}{\pi r^2}\]Substituïm:

• \(r = 0,025 \, \text{m}\),

• \(Q = 0,1 \, \text{m}^3/\text{s}\),

\[v = \frac{0,1}{\pi \cdot (0,025)^2} = \frac{0,1}{\pi \cdot 0,000625} \approx \frac{0,1}{0,0019635} \approx 50,93 \, \text{m/s}.\] Ara calculem \(N_R\):\[N_R = \frac{2 \cdot 1000 \cdot 0,025 \cdot 50,93}{1,005 \times 10^{-3}}\]\[N_R = \frac{2 \cdot 1000 \cdot 0,025 \cdot 50,93}{0,001005} \approx \frac{2546,5}{0,001005} \approx 2,53 \times 10^6.\]Com que \(N_R \approx 2,53 \times 10^6 \gg 2000\), el flux no és laminar, sinó turbulent, contradient la suposició inicial. Això implica que hem d’utilitzar una fórmula adequada per a flux turbulent per calcular la pèrdua de pressió, però com l’enunciat especifica que suposem flux laminar, procedirem amb aquesta suposició per al càlcul i després comentarem la discrepància.

Pas 2: Càlcul de la pèrdua de pressió. (suposant flux laminar). Per a flux laminar, la pèrdua de pressió (\(\Delta P\)) es calcula amb la llei de Hagen-Poiseuille:\[\Delta P = \frac{8 \eta L Q}{\pi r^4}\]Substituïm:- \(\eta = 1,005 \times 10^{-3} \, \text{Pa·s}\),- \(L = 10 \, \text{m}\),- \(Q = 0,1 \, \text{m}^3/\text{s}\),- \(r = 0,025 \, \text{m}\),\[\Delta P = \frac{8 \cdot (1,005 \times 10^{-3}) \cdot 10 \cdot 0,1}{\pi \cdot (0,025)^4}\] \[\approx 6547,72 \, \text{Pa}.\]

Pas 3: Càlcul de la potència. La potència (\(P\)) es calcula com:\[P = Q \cdot \Delta P\]Substituïm:\[P = 0,1 \cdot 6547,72 \approx 654,77 \, \text{W}.\]

Comentari sobre el flux. Tot i que l’enunciat assumeix flux laminar, el nombre de Reynolds (\(N_R \approx 2,53 \times 10^6\)) indica que el flux és clarament turbulent. En flux turbulent, la pèrdua de pressió seria major, i caldria utilitzar equacions com la de Darcy-Weisbach amb un factor de fricció (\(f\)) determinat per un diagrama de Moody o una aproximació com la fórmula de Colebrook-White. Com que l’enunciat especifica flux laminar, hem seguit aquesta suposició, però en la realitat, la potència requerida seria més alta a causa de la turbulència.

Resposta final: La potència que ha de subministrar la bomba, suposant flux laminar com indica l’enunciat, és:\[P \approx 655 \, \text{W} \, \text{(o 0,655 kW)}.\]

Nota: El càlcul es basa en la suposició de flux laminar, però el nombre de Reynolds indica flux turbulent, cosa que augmentaria la pèrdua de pressió i, per tant, la potència requerida.