Càlcul del Nombre de Reynolds i Anàlisi del Flux Sanguini

S’ha comprovat experimentalment que el flux d’un fluid de densitat \(\rho\) i viscositat \(\eta\) a través d’una canonada de radi \(r\) és laminar si el nombre de Reynolds és més petit que 2.000 i és inestable (intermitent o turbulent) quan és superior a 2.000. Recordeu que el nombre de Reynolds es defineix com: \[N_R = \frac{2 \rho r v}{\eta}\] on \(v\) és la velocitat mitjana del fluid dins la canonada. a) Calculeu el nombre de Reynolds per al flux de la sang a través de l’aorta i d’un capil·lar. b) Com és el flux de la sang en el sistema circulatori, laminar o turbulent? Dades: A 37 ºC, la densitat de la sang és \(1,0595 \, \text{g/cm}^3\) i la viscositat és \(2,084 \, \text{cp}\). El radi típic d’un capil·lar és \(2 \, \mu\text{m}\) i la velocitat del flux sanguini és \(0,33 \, \text{mm/s}\). A l’aorta, el radi és de \(1,3 \, \text{cm}\) i la velocitat mitjana del flux sanguini és \(0,2 \, \text{m/s}\).

Per resoldre el problema, calcularem el nombre de Reynolds (\(N_R\)) per al flux de la sang a l’aorta i a un capil·lar, i determinarem si el flux és laminar o turbulent en cada cas. El nombre de Reynolds es calcula amb la fórmula:\[N_R = \frac{2 \rho r v}{\eta}\]On:

• \(\rho\): densitat del fluid (en \(\text{kg/m}^3\)),

• \(r\): radi de la canonada (en \(\text{m}\)),

• \(v\): velocitat mitjana del fluid (en \(\text{m/s}\)),

• \(\eta\): viscositat dinàmica (en \(\text{Pa·s}\)).

Dades proporcionades (convertides a unitats del SI):

• Densitat de la sang: \(\rho = 1,0595 \, \text{g/cm}^3 = 1059,5 \, \text{kg/m}^3\).

• Viscositat de la sang: \(\eta = 2,084 \, \text{cp} = 2,084 \times 10^{-3} \, \text{Pa·s}\).

– Capil·lar:

• Radi: \(r = 2 \, \mu\text{m} = 2 \times 10^{-6} \, \text{m}\),

• Velocitat: \(v = 0,33 \, \text{mm/s} = 3,3 \times 10^{-4} \, \text{m/s}\).

– Aorta:

• Radi: \(r = 1,3 \, \text{cm} = 1,3 \times 10^{-2} \, \text{m}\),

• Velocitat: \(v = 0,2 \, \text{m/s}\).

a) Càlcul del nombre de Reynolds

1. Capil·lar: Substituïm les dades a la fórmula:\[N_R = \frac{2 \cdot 1059,5 \cdot (2 \times 10^{-6}) \cdot (3,3 \times 10^{-4})}{2,084 \times 10^{-3}}\]

\[N_R\approx 6,71 \times 10^{-4}\]. Per tant, per al capil·lar:\[N_R \approx 0,000671\]

2. Aorta: Substituïm les dades: \[N_R = \frac{2 \cdot 1059,5 \cdot (1,3 \times 10^{-2}) \cdot 0,2}{2,084 \times 10^{-3}}\]

$$N_R\approx 2643,95$$. Per tant, per a l’aorta:\[N_R \approx 2644\]

b) Tipus de flux en el sistema circulatori. Segons el criteri donat:

• Si \(N_R < 2000\), el flux és laminar.

• Si \(N_R > 2000\), el flux és inestable (intermitent o turbulent).

Capil·lar: Com que \(N_R \approx 0,000671 \ll 2000\), el flux de la sang en els capil·lars és laminar.

Aorta: Com que \(N_R \approx 2644 > 2000\), el flux de la sang a l’aorta és inestable segons el criteri. No obstant això, en condicions fisiològiques normals, el flux a l’aorta es considera predominantment laminar a causa de la pulsació del cor i l’elasticitat de les parets de l’aorta, que impedeixen el desenvolupament de turbulències completes. En situacions patològiques o amb fluxos molt alts, podria tendir a ser més inestable.

Resposta final:

a) Nombre de Reynolds:

• Capil·lar: \(N_R \approx 0,000671\),

• Aorta: \(N_R \approx 2644\).

b) Tipus de flux:

• En els capil·lars, el flux és laminar (\(N_R \ll 2000\)).

• A l’aorta, el flux és tècnicament inestable (\(N_R > 2000\)), però en condicions normals es considera majoritàriament laminar a causa de les característiques fisiològiques del sistema circulatori.