Càlcul de l’energia dels fotons i la constant de Rydberg a partir de la segona línia de la sèrie de Balmer

La segona línia de la sèrie de Balmer té una longitud d’ona en el buit de $4861,3$ Å. Calcula: a) L’energia dels fotons que corresponen a aquesta línia, en joules i en electronvolts; b) El valor de la constant de Rydberg.

Dades:

• Longitud d’ona, $\lambda = 4861.3 \, \text{Å} = 4861.3 \times 10^{-10} \, \text{m} = 4.8613 \times 10^{-7} \, \text{m}$
• Constant de Planck, $h = 6.626 \times 10^{-34} \, \text{J·s}$
• Velocitat de la llum, $c = 3.00 \times 10^8 \, \text{m/s}$
• Càrrega elemental, $e = 1.602 \times 10^{-19} \, \text{C}$ (per convertir J a eV)

a) Energia dels fotons

L’energia d’un fotó es calcula amb la fórmula: $$E = \frac{hc}{\lambda}$$

Substituïm: $$E = \frac{6.626 \times 10^{-34} \times 3.00 \times 10^{8}}{4.8613 \times 10^{-7}} = 4.088 \times 10^{-19} \, \text{J}$$

Ara passem a electronvolts (1 eV = $1.602 \times 10^{-19} J$): $$E = \frac{4.088 \times 10^{-19}}{1.602 \times 10^{-19}} = 2.55 \, \text{eV}$$

b) Constant de Rydberg

La fórmula per a la longitud d’ona de la línia $n \rightarrow 2$ en la sèrie de Balmer és: $$\frac{1}{\lambda} = R \left( \frac{1}{2^2} – \frac{1}{n^2} \right)$$

Per la segona línia, $n = 4$ (la primera línia és $n=3 \rightarrow 2$, la segona $4 \rightarrow 2$).

Així: $$\frac{1}{\lambda} = R \left( \frac{1}{4} – \frac{1}{16} \right) = R \times \frac{3}{16}$$

De manera que: $$R = \frac{1/\lambda}{3/16} = \frac{16}{3\lambda}$$

Calculem: $$R = \frac{16}{3 \times 4.8613 \times 10^{-7}} = \frac{16}{1.4584 \times 10^{-6}} = 1.097 \times 10^{7} \, \text{m}^{-1}$$

Resultats finals: