Càlcul de l’Alçada d’un Objecte Llançat Horitzontalment amb Radi de Curvatura Donat

Des de la part superior d’un edifici, d’altura $H = 20$ m, es llança horitzontalment un petit objecte amb una velocitat horitzontal $v_0 = 10$ m/s. Determina a quina alçada es troba l’objecte del terra quan el radi de curvatura de la seva trajectòria és $R = 27$ m.

Per resoldre aquest problema, hem d’anar pas a pas. L’objecte es llança horitzontalment des d’una altura $H = 20 \, \text{m}$ amb una velocitat inicial $v_0 = 10 \, \text{m/s}$, i volem trobar l’alçada $y$ quan el radi de curvatura de la trajectòria és $R = 27 \, \text{m}$. L’acceleració de la gravetat és $g = 9,81 \, \text{m/s}^2$.

Passos:

1. Moviment del projectil: L’objecte segueix una trajectòria parabòlica sota l’efecte de la gravetat. La velocitat horitzontal $v_x = v_0 = 10 \, \text{m/s}$ roman constant, mentre que la velocitat vertical $v_y$ augmenta amb el temps a causa de $g$. La posició vertical $y$ es calcula com:
   $$y = H – \frac{1}{2} g t^2$$
   on ( t ) és el temps des del llançament.
2. Radi de curvatura: El radi de curvatura $R$ d’una trajectòria parabòlica es pot expressar en termes de la velocitat total $v$ i l’acceleració normal $a_n$:
   $$R = \frac{v^2}{a_n}$$
   Per a un projectil, l’acceleració normal depèn de la gravetat i la velocitat. La velocitat total $v$ en un instant donat és:
   $$v = \sqrt{v_x^2 + v_y^2}$$
   on $v_y = g t$ (ja que $v_y = 0$ inicialment i augmenta linealment). L’acceleració normal $a_n$ per a una trajectòria parabòlica es relaciona amb la component de $g$ perpendicular a la trajectòria. En termes generals, per a un projectil llançat horitzontalment, el radi de curvatura es pot derivar com:
   $$R = \frac{v^3}{g v_x^2}$$
   (aquesta expressió ve de la derivació de la curvatura d’una paràbola).
3. Relació amb $R = 27 \, \text{m}$: Substituïm $R = 27 \, \text{m}$ i resolem per $v$:
   $$27 = \frac{v^3}{g v_x^2}$$
   $$v^3 = 27 \cdot g \cdot v_x^2$$
   $$v^3 = 27 \cdot 9,81 \cdot 10^2$$
   $$v^3 = 27 \cdot 9,81 \cdot 100 = 26487$$
   $$v = \sqrt[3]{26487} \approx 29,83 \, \text{m/s}$$
4. Relació entre $v$, $v_x$ i $v_y$: Com que $v_x = 10 \, \text{m/s}$ és constant, calculem $v_y$:
   $$v = \sqrt{v_x^2 + v_y^2}$$
   $$29,83 = \sqrt{10^2 + v_y^2}$$
   $$29,83^2 = 10^2 + v_y^2$$
   $$889,73 = 100 + v_y^2$$
   $$v_y^2 = 789,73$$
   $$v_y \approx \sqrt{789,73} \approx 28,1 \, \text{m/s}$$
5. Temps $t$: Com que $v_y = g t$:
   $$t = \frac{v_y}{g} = \frac{28,1}{9,81} \approx 2,86 \, \text{s}$$
6. Alçada $y$: Substituïm $t$ a l’equació de la posició vertical:
   $$y = H – \frac{1}{2} g t^2$$
   $$y = 20 – \frac{1}{2} \cdot 9,81 \cdot (2,86)^2$$
   $$y = 20 – 4,905 \cdot 8,18$$
   $$y = 20 – 40,14 \approx -20,14 \, \text{m}$$

Aquest resultat negatiu indica que l’objecte ha passat per sota del nivell inicial i ha arribat a terra o més enllà. Com que $H = 20 \, \text{m}$ és l’altura inicial, l’alçada relatiu al terra és:
$$y_{\text{terra}} = 0 \, \text{(ja ha tocat terra)}$$

Conclusió:

L’objecte toca el terra abans d’arribar a un radi de curvatura de $R = 27 \, \text{m}$, ja que el temps calculat ($t \approx 2,86 \, \text{s}$) excedeix el temps de caiguda lliure des de $20 \, \text{m}$:
$$t_{\text{caiguda}} = \sqrt{\frac{2H}{g}} = \sqrt{\frac{2 \cdot 20}{9,81}} \approx 2,02 \, \text{s}$$

Per tant, l’alçada quan $R = 27 \, \text{m}$ no es pot assolir, ja que l’objecte ja ha impactat el terra. La resposta és que l’objecte ja és a terra ($y = 0 \, \text{m}$).