Càlcul de matriu inversa

Donada la matriu: $$F = \begin{pmatrix} 3 & -1 & 2 \\ 1 & 4 & -1 \\ 2 & 0 & 3 \end{pmatrix}$$ Calculeu la matriu inversa pel mètode de Gauss-Jordan.

Partim de
$$\left[\begin{array}{ccc|ccc}
3 & -1 & 2 & 1 & 0 & 0\\
1 & 4 & -1 & 0 & 1 & 0\\
2 & 0 & 3 & 0 & 0 & 1
\end{array}\right].$$

Operacions principals:

1. Intercanviem $R_1\leftrightarrow R_2$:
   $$\left[\begin{array}{ccc|ccc}
   1 & 4 & -1 & 0 & 1 & 0\\
   3 & -1 & 2 & 1 & 0 & 0\\
   2 & 0 & 3 & 0 & 0 & 1
   \end{array}\right]$$
2. Eliminem sota el pivot de la 1a fila:
   $$R_2\leftarrow R_2-3R_1,\quad R_3\leftarrow R_3-2R_1$$
   donant
   $$\left[\begin{array}{ccc|ccc}
   1 & 4 & -1 & 0 & 1 & 0\\
   0 & -13 & 5 & 1 & -3 & 0\\
   0 & -8 & 5 & 0 & -2 & 1
   \end{array}\right]$$
3. Normalitzem el pivot de la 2a fila: $R_2\leftarrow R_2/(-13)$:
   $$\left[\begin{array}{ccc|ccc}
   1 & 4 & -1 & 0 & 1 & 0\\
   0 & 1 & -5/13 & -1/13 & 3/13 & 0\\
   0 & -8 & 5 & 0 & -2 & 1
   \end{array}\right]$$
4. Eliminem la 2a columna a R1 i R3:
   $$R_1\leftarrow R_1-4R_2,\quad R_3\leftarrow R_3+8R_2$$
   obtenint
   $$\left[\begin{array}{ccc|ccc}
   1 & 0 & 7/13 & 4/13 & 1/13 & 0\\
   0 & 1 & -5/13 & -1/13 & 3/13 & 0\\
   0 & 0 & 25/13 & -8/13 & -2/13 & 1
   \end{array}\right]$$
5. Normalitzem el pivot de la 3a fila: $R_3\leftarrow R_3\cdot(13/25)$:
   $$\left[\begin{array}{ccc|ccc}
   1 & 0 & 7/13 & 4/13 & 1/13 & 0\\
   0 & 1 & -5/13 & -1/13 & 3/13 & 0\\
   0 & 0 & 1 & -8/25 & -2/25 & 13/25
   \end{array}\right]$$
6. Eliminem la 3a columna de R1 i R2:
   $$R_1\leftarrow R_1-(7/13)R_3,\quad R_2\leftarrow R_2+(5/13)R_3$$
   i obtenim finalment
   $$\left[\begin{array}{ccc|ccc}
   1 & 0 & 0 & 12/25 & 3/25 & -7/25\\
   0 & 1 & 0 & -1/5 & 1/5 & 1/5\\
   0 & 0 & 1 & -8/25 & -2/25 & 13/25
   \end{array}\right].$$

Per tant,
$$F^{-1}=\begin{pmatrix}
\frac{12}{25} & \frac{3}{25} & -\frac{7}{25}\\
-\frac{1}{5} & \frac{1}{5} & \frac{1}{5}\\
-\frac{8}{25} & -\frac{2}{25} & \frac{13}{25}
\end{pmatrix}.$$