Càlcul de la distància d’aturada d’un vehicle

El temps de reacció d’un conductor d’automòbil (o temps invertit entre percebre un senyal i reaccionar adequadament) és típicament de 0,7 s. Si un conductor percep un senyal d’aturar-se i frena amb una acceleració \( a = -4,8 \, \text{m/s}^2 \), determineu la distància recorreguda fins a aturar-se completament si: a) El vehicle transitava a 30 km/h b) El vehicle circulava a 60 km/h

Per resoldre aquest problema, calcularem la $\textbf{distància total recorreguda}$ fins que el vehicle s’atura, tenint en compte el $\textbf{temps de reacció}$ i la $\textbf{distància de frenada}$. Dividirem el càlcul en dues parts per a cada velocitat inicial: 30 km/h i 60 km/h.

Dades inicials:

• Temps de reacció: \( t_r = 0,7 \, \text{s} \)

• Acceleració de frenada: \( a = -4,8 \, \text{m/s}^2 \)

• Velocitats inicials: \( v_0 = 30 \, \text{km/h} \); \( v_0 = 60 \, \text{km/h} \)

• Velocitat final: \( v_f = 0 \, \text{m/s} \) (el vehicle s’atura)

Passos generals:

Convertir les velocitats inicials a m/s: \[ v_0 \, (\text{m/s}) = v_0 \, (\text{km/h}) \times \frac{1000}{3600} = v_0 \, (\text{km/h}) \times \frac{5}{18} \]

• Per 30 km/h: \( v_0 = 30 \times \frac{5}{18} \approx 8,33 \, \text{m/s} \)

• Per 60 km/h: \( v_0 = 60 \times \frac{5}{18} \approx 16,67 \, \text{m/s} \)

$\textbf{Distància recorreguda durant el temps de reacció}$ (\( d_r \)):

Durant el temps de reacció, el vehicle es mou a velocitat constant (sense frenar): \[ d_r = v_0 \times t_r \]

$\textbf{Distància de frenada}$ (\( d_f \)):

Per calcular la distància recorreguda mentre el vehicle frena fins a aturar-se, utilitzem l’equació de la cinemàtica: \[ v_f^2 = v_0^2 + 2a d_f \] Com \( v_f = 0 \), tenim: \[ d_f = -\frac{v_0^2}{2a} \]

$\textbf{Distància total}$ (\( d_{\text{total}} \)): \[ d_{\text{total}} = d_r + d_f \]

a) Velocitat inicial: 30 km/h (\( v_0 = 8,33 \, \text{m/s} \))

$\textbf{Distància durant el temps de reacció}$: \[ d_r = v_0 \times t_r = 8,33 \times 0,7 \approx 5,83 \, \text{m} \]

$\textbf{Distància de frenada}$: \[ d_f = -\frac{v_0^2}{2a} = -\frac{(8,33)^2}{2 \times (-4,8)} = -\frac{69,39}{-9,6} \approx 7,23 \, \text{m} \]

$\textbf{Distància total}$: \[ d_{\text{total}} = d_r + d_f = 5,83 + 7,23 \approx 13,06 \, \text{m} \]

b) Velocitat inicial: 60 km/h (\( v_0 = 16,67 \, \text{m/s} \))

$\textbf{Distància durant el temps de reacció}$: \[ d_r = v_0 \times t_r = 16,67 \times 0,7 \approx 11,67 \, \text{m} \]

$\textbf{Distància de frenada}$: \[ d_f = -\frac{v_0^2}{2a} = -\frac{(16,67)^2}{2 \times (-4,8)} = -\frac{277,89}{-9,6} \approx 28,95 \, \text{m} \]

$\textbf{Distància total}$: \[ d_{\text{total}} = d_r + d_f = 11,67 + 28,95 \approx 40,62 \, \text{m} \]

Resposta final:

$\textbf{a)}$ Si el vehicle transita a 30 km/h, la distància total recorreguda fins a aturar-se és d’aproximadament 13,06 m.

$\textbf{b)}$ Si el vehicle transita a 60 km/h, la distància total recorreguda fins a aturar-se és d’aproximadament 40,62 m.