Càlcul de la velocitat límit d’un glòbul vermell segons la llei de Stokes

Un glòbul vermell esfèric de \(5 \times 10^{-6} \, \text{m}\) de radi i densitat \(1,3 \times 10^3 \, \text{kg/m}^3\) és en aigua a \(37^\circ \text{C}\). Quina serà la seva velocitat límit en caiguda? Dades: densitat de l’aigua a \(37^\circ \text{C}\), \(992 \, \text{kg/m}^3\), viscositat de l’aigua a \(37^\circ \text{C}\), \(0,695 \, \text{cp}\). Suposeu que es compleix la llei de Stokes.

Per calcular la velocitat límit d’un glòbul vermell esfèric en caiguda lliure en aigua, utilitzarem la llei de Stokes, que descriu la velocitat terminal d’una esfera en un fluid viscós. La fórmula és:\[v = \frac{2 r^2 (\rho_{\text{glòbul}} – \rho_{\text{aigua}}) g}{9 \eta},\]on:- \(r = 5 \times 10^{-6} \, \text{m}\) (radi del glòbul vermell),- \(\rho_{\text{glòbul}} = 1,3 \times 10^3 \, \text{kg/m}^3 = 1300 \, \text{kg/m}^3\),- \(\rho_{\text{aigua}} = 992 \, \text{kg/m}^3\),- \(g = 9,81 \, \text{m/s}^2\) (acceleració gravitatòria),- \(\eta = 0,695 \, \text{cp}\) (viscositat de l’aigua).

Pas 1: Convertir la viscositatLa viscositat es dona en centipoise (\(\text{cp}\)):\[1 \, \text{cp} = 10^{-3} \, \text{Pa·s},\]\[0,695 \, \text{cp} = 0,695 \times 10^{-3} \, \text{Pa·s} = 6,95 \times 10^{-4} \, \text{Pa·s}.\]

Pas 2: Calcular la diferència de densitats\[\rho_{\text{glòbul}} – \rho_{\text{aigua}} = 1300 – 992 = 308 \, \text{kg/m}^3.\]

Pas 3: Calcular \(r^2\)\[r = 5 \times 10^{-6} \, \text{m},\]\[r^2 = (5 \times 10^{-6})^2 = 25 \times 10^{-12} = 2,5 \times 10^{-11} \, \text{m}^2.\]

Pas 4: Substituir a la fórmula de Stokes\[v = \frac{2 \times (2,5 \times 10^{-11}) \times 308 \times 9,81}{9 \times 6,95 \times 10^{-4}}.\]Calculem el numerador:\[2 \times 2,5 \times 10^{-11} \times 308 \times 9,81 \approx 1,510 \times 10^{-7}.\]Calculem el denominador:\[9 \times 6,95 \times 10^{-4} \approx 6,255 \times 10^{-3}.\]Calculem \(v\):\[v = \frac{1,510 \times 10^{-7}}{6,255 \times 10^{-3}} \approx 2,414 \times 10^{-5} \, \text{m/s}.\]

Pas 5: Verificar la validesa de la llei de StokesLa llei de Stokes és vàlida si el nombre de Reynolds (\(Re\)) és petit (\(Re < 0,1\)), indicant un flux laminar. El nombre de Reynolds es calcula com:\[Re = \frac{\rho_{\text{aigua}} v 2r}{\eta}.\]Substituïm:\[Re = \frac{992 \times (2,414 \times 10^{-5}) \times (2 \times 5 \times 10^{-6})}{6,95 \times 10^{-4}}.\]\[Re \approx \frac{992 \times 2,414 \times 10^{-5} \times 10^{-5}}{6,95 \times 10^{-4}} \approx \frac{2,395 \times 10^{-7}}{6,95 \times 10^{-4}} \approx 3,446 \times 10^{-4}.\]Com que \(Re \approx 3,446 \times 10^{-4} \ll 0,1\), la llei de Stokes és aplicable.

Resposta final: La velocitat límit del glòbul vermell en caiguda és aproximadament \(2,41 \times 10^{-5} \, \text{m/s}\) o 24,1 µm/s.