Càlcul de la Resistència, Cabal i Diferència de Pressió en un Capil·lar

a) Quina és la resistència al pas de l’aigua d’un capil·lar de vidre de $20$ cm de longitud i $0,06$ cm de radi? b) Quin és el cabal que passa a través del capil·lar quan la diferència de pressió entre els seus extrems és de $15$ cm de H$_2$O? c) Quina és la diferència de pressió quan el flux és de $0,5$ cm$^3$/s? Dades: La viscositat de l’aigua a $20$ ºC és d’$1,005$ cp i suposeu que el flux és laminar.

Per resoldre aquest problema, utilitzarem la llei de Poiseuille, que descriu el flux laminar d’un fluid viscós a través d’un tub cilíndric (com un capil·lar). La fórmula és:\[Q = \frac{\pi r^4 \Delta P}{8 \eta L}\]On:

• \( Q \): cabal volumètric (\( \text{cm}^3/\text{s} \))

• \( r \): radi del capil·lar (\( \text{cm} \))

• \( \Delta P \): diferència de pressió (\( \text{dina}/\text{cm}^2 \))

• \( \eta \): viscositat del fluid (\( \text{poise} \))

• \( L \): longitud del capil·lar (\( \text{cm} \)). La resistència al flux (\( R_f \)) es defineix com:\[R_f = \frac{\Delta P}{Q} = \frac{8 \eta L}{\pi r^4}\]

Dades:

• Longitud del capil·lar: \( L = 20 \, \text{cm} \)

• Radi del capil·lar: \( r = 0,06 \, \text{cm} \)

• Viscositat de l’aigua: \( \eta = 1,005 \, \text{cp} = 0,01005 \, \text{poise} \) (1 cp = 0,01 poise)

• Diferència de pressió (per al punt b): \( \Delta P = 15 \, \text{cm de H}_2\text{O} \)

• Densitat de l’aigua: \( \rho = 1 \, \text{g}/\text{cm}^3 \)

• Acceleració de la gravetat: \( g = 981 \, \text{cm}/\text{s}^2 \)

• Flux (per al punt c): \( Q = 0,5 \, \text{cm}^3/\text{s} \)

a) Resistència al pas de l’aiguaLa resistència al flux es calcula amb:\[R_f = \frac{8 \eta L}{\pi r^4}\] Substituïm:- \( \eta = 0,01005 \, \text{poise} \)- \( L = 20 \, \text{cm} \)- \( r = 0,06 \, \text{cm} \), així que \( r^4 = (0,06)^4 = 0,00001296 \, \text{cm}^4 \)- \( \pi \approx 3,14159 \)\[R_f = \frac{8 \cdot 0,01005 \cdot 20}{3,14159 \cdot 0,00001296}\]\[R_f = \frac{1,608}{0,000040716} \approx 39493,8 \, \text{dina} \cdot \text{s}/\text{cm}^5\]

Resposta a): La resistència al pas de l’aigua és d’aproximadament 39494 dina·s/cm⁵.

b) Cabal amb una diferència de pressió de 15 cm de H₂OPrimer, hem de convertir la diferència de pressió de cm de H₂O a dina/cm²:\[\Delta P = \rho g h\]On:- \( \rho = 1 \, \text{g}/\text{cm}^3 \)- \( g = 981 \, \text{cm}/\text{s}^2 \)- \( h = 15 \, \text{cm} \)\[\Delta P = 1 \cdot 981 \cdot 15 = 14715 \, \text{dina}/\text{cm}^2\]Ara utilitzem la llei de Poiseuille per calcular el cabal:\[Q = \frac{\pi r^4 \Delta P}{8 \eta L}\]Substituïm:- \( r^4 = 0,00001296 \, \text{cm}^4 \)- \( \Delta P = 14715 \, \text{dina}/\text{cm}^2 \)- \( \eta = 0,01005 \, \text{poise} \)- \( L = 20 \, \text{cm} \)\[Q = \frac{3,14159 \cdot 0,00001296 \cdot 14715}{8 \cdot 0,01005 \cdot 20}\]\[Q = \frac{0,5997}{1,608} \approx 0,373 \, \text{cm}^3/\text{s}\]

Resposta b): El cabal és d’aproximadament 0,373 cm³/s.

c) Diferència de pressió per un flux de 0,5 cm³/s. Reorganitzem la llei de Poiseuille per trobar \( \Delta P \):\[\Delta P = \frac{8 \eta L Q}{\pi r^4}\] Substituïm:- \( Q = 0,5 \, \text{cm}^3/\text{s} \)- \( \eta = 0,01005 \, \text{poise} \)- \( L = 20 \, \text{cm} \)- \( r^4 = 0,00001296 \, \text{cm}^4 \)\[\Delta P = \frac{8 \cdot 0,01005 \cdot 20 \cdot 0,5}{3,14159 \cdot 0,00001296}\]\[\Delta P = \frac{0,804}{0,000040716} \approx 19746,9 \, \text{dina}/\text{cm}^2\] Per convertir a cm de H₂O:\[h = \frac{\Delta P}{\rho g} = \frac{19746,9}{1 \cdot 981} \approx 20,14 \, \text{cm de H}_2\text{O}\]

Resposta c): La diferència de pressió és d’aproximadament $\Delta p = 19746,9 \, \text{dina}/\text{cm}^2$

Resum de respostes:

a) Resistència al pas: 39494 dina·s/cm⁵

b) Cabal: 0,373 cm³/s

c) Diferència de pressió: $\Delta p = 19746,9 \, \text{dina}/\text{cm}^2$