Càlcul de la Trajectòria d’una Pilota de Golf

Un jugador de golf llança una pilota des del terra amb una velocitat de 60,0 m/s i un angle de 60°. Calculeu: a) La velocitat de la pilota al punt més alt de la trajectòria. b) L’altura màxima aconseguida. c) L’abast màxim.

a) És tracta d’un tir oblic amb un angle de llançament de 60°. El moviment parabòlic de la pilota, en tot el seu recorregut, ve definit per les equacions:

• Moviment horitzontal: $x = x_0 + (v_0 \cos \alpha) t$, $v_x = v_0 \cos \alpha$,
• Moviment vertical: $y = y_0 + (v_0 \sin \alpha) t + \frac{1}{2} g t^2$, $v_y = v_0 \sin \alpha + g t$.

Prenem el punt de llançament com a origen del sistema cartesià de referència. En aquest cas, per tant, es compleix que $x_0 = 0$, $y_0 = 0$. Quan la pilota es troba al punt més alt, la velocitat $v_0 = 0$. En aquest punt només hi ha velocitat horitzontal, que és constant, i val:

$$v_x = v_0 \cos \alpha = 60,0 \, \text{m/s} \cdot \cos 60° = 30,0 \, \text{m/s}.$$

Per tant, quan triga a arribar al punt més alt s’obté de:

$$v_y = v_0 \sin \alpha + g t \quad \text{quan} \quad v_y = 0,$$

$$t = \frac{v_y – v_0 \sin \alpha}{g} = \frac{0 – 60,0 \, \text{m/s} \cdot \sin 60°}{-9,8 \, \text{m/s}^2} = 5,3 \, \text{s}.$$

L’altura màxima s’obté substituint el temps anterior en l’equació que ens dona la posició vertical en qualsevol instant:

$$y = (v_0 \sin \alpha) t + \frac{1}{2} g t^2,$$

$$y = 60,0 \, \text{m/s} \cdot \sin 60° \cdot 5,3 \, \text{s} + \frac{1}{2} (-9,8 \, \text{m/s}^2) \cdot (5,3 \, \text{s})^2 = 138 \, \text{m}.$$

c) L’abast màxim es produeix quan la pilota torna al terra, és a dir, quan $y = 0$. El temps que triga a tornar a terra s’obté de l’equació:

$$y = (v_0 \sin \alpha) t + \frac{1}{2} g t^2 \quad \text{quan} \quad y = 0,$$

$$t = \frac{-2 v_0 \sin \alpha}{g} = \frac{-2 \cdot 60,0 \, \text{m/s} \cdot \sin 60°}{-9,8 \, \text{m/s}^2} = 10,6 \, \text{s}.$$

Observeu que aquest temps és el doble del temps transcorregut fins a assolir l’altura màxima. La pilota triga el mateix temps a pujar que a baixar.

L’abast màxim s’obté substituint el temps calculat abans en l’equació del desplaçament horitzontal:

$$x = (v_0 \cos \alpha) t = 60,0 \, \text{m/s} \cdot \cos 30° \cdot 10,6 \, \text{s} = 318 \, \text{m}.$$