Càlcul de la probabilitat d’un nombre determinat de llars amb dos o més ordinadors mitjançant l’aproximació normal amb correcció de Yates

Se sap que la proporció de llars espanyoles amb dos o més ordinadors és $p = 0,75$. Es pren una mostra aleatòria simple de mida $n = 140$ llars. Determineu: a) El nombre esperat de llars que no tindran dos o més ordinadors en la mostra escollida. b) La probabilitat que, en la mostra de $140$ llars, el nombre de llars amb dos o més ordinadors estigui entre $98$ i $112$ llars.

Considerem la variable aleatòria $X$ que compta el nombre de llars amb dos o més ordinadors en una mostra de $140$ llars.

La probabilitat que una llar tingui dos o més ordinadors és $p = 0,75$.

Per tant, XX és una variable binomial amb paràmetres$n = 140$ i $p = 0,75$, és a dir, $X \sim B(140, 0,75)$.

a) L’esperança de $X$ és el producte $n \cdot p$: $$E(X) = n \cdot p = 140 \cdot 0,75 = 105.$$

Així, s’espera que d’una mostra de $140$ llars, $105$ tinguin dos o més ordinadors. Per tant, el nombre esperat de llars que no tenen dos o més ordinadors és: $140 – 105 = 35$.

b) Ens demanen calcular la probabilitat $P(98 < X < 112)$.

Com que la mida de la mostra és gran, podem aproximar la binomial $X$ per una normal $Y$ amb mitjana $\mu = n \cdot p = 105$

i desviació típica $\sigma = \sqrt{n \cdot p \cdot q} = \sqrt{140 \cdot 0,75 \cdot 0,25} = 5,12$,

on $q = 1 – p = 0,25$.

Així, $Y \sim N(105, 5,12^2)$.

Aquesta aproximació és adequada perquè:

• $n = 140 > 20,$
• $n \cdot p = 105 > 5,$
• $n \cdot q = 35 > 5.$

Ara cal calcular la probabilitat demanada. Volem calcular: $P(98 < X < 112)$

Amb la correcció de Yates, la probabilitat queda: $$P(98 < X < 112) \approx P(98.5 \leq Y \leq 111.5)$$

On $Y \sim N(\mu = 105, \sigma = 5.12).$

Pas a pas: $$P(98.5 \leq Y \leq 111.5) = P\left(\frac{98.5 – 105}{5.12} \leq Z \leq \frac{111.5 – 105}{5.12}\right)$$

Calculant els valors de ZZ: $$Z_1 = \frac{98.5 – 105}{5.12} = \frac{-6.5}{5.12} \approx -1.27$$ $$Z_2 = \frac{111.5 – 105}{5.12} = \frac{6.5}{5.12} \approx 1.27$$

Per tant, $$P(98.5 \leq Y \leq 111.5) = P(-1.27 \leq Z \leq 1.27) = P(Z \leq 1.27) – P(Z \leq -1.27)$$

Consultant la taula de la normal estàndard $N(0,1)$: $$P(Z \leq 1.27) = 0.898$$ $$P(Z \leq -1.27) = 1 – 0.898 = 0.102$$

Així, $P(-1.27 \leq Z \leq 1.27) = 0.898 – 0.102 = 0.796$

Conclusió:

La probabilitat que en una mostra de $140$ llars hi hagi entre $98$ i $112$ llars amb dos o més ordinadors és aproximadament $0,796$.