Adiestrament d’un gos per a la recerca de tòfones

Durant l’adiestrament d’un gos per a trobar tòfones, se’l deixa lliure un cop al dia en una zona de bosc adequada per a la recerca d’aquest preuat fong. En cada operació de recerca s’ha observat que l’animal es dirigeix sempre cap a una de tres zones diferents del bosc, anomenades A, B i C. En dues de cada deu operacions de recerca es dirigeix cap a la zona A, en cinc de cada deu cap a la zona B, i en la resta cap a la zona C. El gos detecta tòfones a la zona A en un 35% de les vegades, en un 15% a la zona B i en un 40% a la zona C. Escollint a l’atzar un gos en adiestrament, calculeu la probabilitat que: a) Detecti una tòfona en una operació de recerca. b) Sabent que ha trobat una tòfona, aquesta hagi estat trobada a la zona B.

Les dades observades són les següents:

• En 2 de cada 10 operacions, el gos es dirigeix a la zona A: $P(A) = 0{,}2$
• En 5 de cada 10 operacions, es dirigeix a la zona B: $P(B) = 0{,}5$
• En 3 de cada 10 operacions, es dirigeix a la zona C: $P(C) = 0{,}3$

Les probabilitats que el gos detecti una tòfona a cada zona són:
$$P(T|A) = 0{,}35, \quad P(T|B) = 0{,}15, \quad P(T|C) = 0{,}40$$

a) Probabilitat que el gos detecti una tòfona

Utilitzem el teorema de la probabilitat total:

$$P(T) = P(A) \cdot P(T|A) + P(B) \cdot P(T|B) + P(C) \cdot P(T|C)$$

$$P(T) = 0{,}2 \cdot 0{,}35 + 0{,}5 \cdot 0{,}15 + 0{,}3 \cdot 0{,}40$$

$$P(T) = 0{,}07 + 0{,}075 + 0{,}12 = \boxed{0{,}265}$$

b) Probabilitat que la tòfona hagi estat trobada a la zona B, sabent que se n’ha trobat una

Utilitzem el teorema de Bayes:

$$P(B|T) = \frac{P(B) \cdot P(T|B)}{P(T)} = \frac{0{,}5 \cdot 0{,}15}{0{,}265}$$

$$P(B|T) = \frac{0{,}075}{0{,}265} \approx \boxed{0{,}2830}$$

Resposta final

• [a)] La probabilitat que el gos detecti una tòfona en una operació de recerca és de $\boxed{0{,}265}$.
• [b)] La probabilitat que la tòfona trobada hagi estat a la zona B, sabent que se n’ha trobat una, és de $\boxed{0{,}2830}$.