Càlcul de la recta perpendicular a un pla, el peu de la perpendicular i la distància al pla

Trobar la recta $r$ que és perpendicular al pla $\pi: 2x + y – 2z = -2$ i passa pel punt de coordenades $A(-1, 1, 5)$. Calcular les coordenades del punt $O = r \cap \pi$ (peu de la perpendicular de $A$ sobre $\pi$) i trobar la distància entre $A$ i $\pi$.

1. Trobar la recta $r$

El vector normal al pla $\pi: 2x + y – 2z = -2$ és $\vec{n} = (2, 1, -2)$, que és el vector director de la recta. Com passa pel punt $A(-1, 1, 5)$, les equacions paramètriques de $r$ són:

$$\begin{cases}
x = -1 + 2t \\
y = 1 + t \\
z = 5 – 2t
\end{cases}$$

2. Calcular el punt $O = r \cap \pi$

Substituïm les equacions de la recta en l’equació del pla $2x + y – 2z = -2$:

$$2(-1 + 2t) + (1 + t) – 2(5 – 2t) = -2$$

Resolem per $t$:

$$9t – 11 = -2 \implies 9t = 9 \implies t = 1$$

Substituïm $t = 1$:

$$x = -1 + 2 \cdot 1 = 1, \quad y = 1 + 1 = 2, \quad z = 5 – 2 \cdot 1 = 3$$

Per tant, $O = (1, 2, 3)$.

3. Calcular la distància entre $A(-1, 1, 5)$ i el pla $\pi$

Per al pla $2x + y – 2z + 2 = 0$, amb $a = 2$, $b = 1$, $c = -2$, $d = 2$, i el punt $A(-1, 1, 5)$, la distància és:

$$\text{Distància} = \frac{|2(-1) + 1 \cdot 1 + (-2) \cdot 5 + 2|}{\sqrt{2^2 + 1^2 + (-2)^2}} = \frac{|-2 + 1 – 10 + 2|}{\sqrt{4 + 1 + 4}} = \frac{|-9|}{\sqrt{9}} = \frac{9}{3} = 3$$

Resposta final

• Equacions de la recta $r$:

$$\begin{cases}
x = -1 + 2t \\
y = 1 + t \\
z = 5 – 2t
\end{cases}$$

• Coordenades del punt $O$:

$$O = (1, 2, 3)$$

• Distància entre $A$ i el pla $\pi$:

$$\text{Distància} = 3$$