Càlcul de la potència sonora emesa des d’un escenari en un concert

En un concert, el nivell d’intensitat sonora mitjà és de 105 dB a una distància de 20 metres de l’escenari. Es demana calcular la potència sonora total que s’emet des de l’escenari, suposant que el so es propaga només en mitja esfera (cap al públic).

1. Relació entre nivell d’intensitat sonora i intensitat sonora real. La intensitat sonora \( I \) (en W/m²) es relaciona amb el nivell en decibels \( L \) així:\[L = 10 \cdot \log_{10} \left( \frac{I}{I_0} \right)\quad \text{on } I_0 = 10^{-12} \, \text{W/m}^2\]Substituïm \( L = 105 \, \text{dB} \):\[\log_{10} \left( \frac{I}{10^{-12}} \right) = \frac{105}{10} = 10{,}5\Rightarrow \frac{I}{10^{-12}} = 10^{10{,}5}\Rightarrow I = 10^{-12} \cdot 10^{10{,}5} = 3{,}16 \cdot 10^{-2} \, \text{W/m}^2\]

2. Càlcul de la potència total emesa. El so s’està propagant en una mitja esfera de radi \( r = 20 \, \text{m} \), per tant:\[A = 2\pi r^2 = 2\pi \cdot 20^2 = 2\pi \cdot 400 = 800\pi \, \text{m}^2\]Ara calculem la potència \( P \):\[P = I \cdot A = 3{,}16 \cdot 10^{-2} \cdot 800\pi \approx 3{,}16 \cdot 10^{-2} \cdot 2513 = 79{,}5 \, \text{W}\]

Resposta final: La potència sonora emesa des de l’escenari és d’aproximadament 79,5 watts.