Càlcul de la Posició, Naturalesa i Augment d’una Lupa amb Distància Focal de 10 cm per Observar una Flor de 2 cm

Volem utilitzar una lent convergent com a lupa amb distància focal $f = 10 \, \text{cm}$ per observar una flor d’uns $2$ cm. Trobeu la posició, naturalesa (real o virtual) i grandària de la imatge si: (a) La flor està a $6$ cm de la lent. (b) La flor està a $12$ cm de la lent. (c) A quina distància hauríem de posar la flor de la lent per tenir la visió més adequada? Quant és llavors l’augment angular?

a) La flor a $6$ cm de la lent
Les dades són: distància focal $f = 10 \, \text{cm}$, distància de l’objecte $s_o = 6 \, \text{cm}$. La posició de la imatge es calcula amb l’equació de les lents primes:
\begin{equation}
\frac{1}{s_o} + \frac{1}{s_i} = \frac{1}{f}
\end{equation}
Aïllant la distància de la imatge ($s_i$) i substituint:
\begin{equation}
\frac{1}{s_i} = \frac{1}{f} – \frac{1}{s_o} = \frac{s_o – f}{f \cdot s_o}
\end{equation}
\begin{equation}
s_i = \frac{f \cdot s_o}{s_o – f} = \frac{10 \cdot 6}{6 – 10} = \frac{60}{-4} = -15 \, \text{cm}
\end{equation}
La distància negativa indica que la imatge és virtual.

L’augment lateral ($M$) d’una lent convergent és:
\begin{equation}
M = -\frac{s_i}{s_o} = -\frac{-15}{6} = 2.5
\end{equation}

La grandària de la imatge ($h_i$) es calcula com:
\begin{equation}
M = \frac{h_i}{h_o} \implies h_i = M \cdot h_o = 2.5 \cdot 2 = 5 \, \text{cm}
\end{equation}
Com que $M > 0$ la imatge és dreta.
Resultat: La imatge està a $-15 \, \text{cm}$ (virtual), té una grandària de $5 \, \text{cm}$ i és dreta.

b) La flor a 12 cm de la lent
Ara, $s_o = 12 \, \text{cm}$. Calculem la posició de la imatge:
\begin{equation}
s_i = \frac{f \cdot s_o}{s_o – f} = \frac{10 \cdot 12}{12 – 10} = \frac{120}{2} = 60 \, \text{cm}
\end{equation}
La distància positiva indica que la imatge és real.

L’augment lateral:
\begin{equation}
M = -\frac{s_i}{s_o} = -\frac{60}{12} = -5
\end{equation}

La grandària de la imatge:
\begin{equation}
h_i = M \cdot h_o = -5 \cdot 2 = -10 \, \text{cm}
\end{equation}
El signe negatiu indica que la imatge és invertida.
Resultat: La imatge està a $60 \, \text{cm}$ (real), té una grandària de $10 \, \text{cm}$ i és invertida.

c) Visió més adequada i augment angular

Cas 1: Ull relaxat (imatge a l’infinit)
Perquè l’ull estigui relaxat, la imatge ha d’estar a l’infinit ($s_i \to -\infty$). Aplicant l’equació de les lents:
\begin{equation}
\frac{1}{s_o} + \frac{1}{-\infty} = \frac{1}{f} \implies s_o = f = 10 \, \text{cm}
\end{equation}
L’augment angular ($M_\theta$) per a una lupa amb l’ull relaxat és:
\begin{equation}
M_\theta = \frac{N}{f}
\end{equation}
On $N = 25 \, \text{cm}$ (punt pròxim de l’ull). Substituint:
\begin{equation}
M_\theta = \frac{25}{10} = 2.5
\end{equation}

Cas 2: Màxim augment (imatge al punt pròxim)
Per obtenir la imatge més gran possible, la imatge ha d’estar al punt pròxim de l’ull ($s_i = -25 \, \text{cm}$). Calculem la distància de l’objecte:
\begin{equation}
\frac{1}{s_o} + \frac{1}{s_i} = \frac{1}{f} \implies \frac{1}{s_o} = \frac{1}{f} – \frac{1}{s_i} = \frac{s_i – f}{f \cdot s_i}
\end{equation}
\begin{equation}
s_o = \frac{f \cdot s_i}{s_i – f} = \frac{10 \cdot (-25)}{-25 – 10} = \frac{-250}{-35} \approx 7.14 \, \text{cm}
\end{equation}
L’augment angular en aquest cas és:
\begin{equation}
M_\theta = 1 + \frac{N}{f} = 1 + \frac{25}{10} = 1 + 2.5 = 3.5
\end{equation}

Resultat:

• Per a una visió relaxada ($s_o = 10 \, \text{cm}$), l’augment angular és $2.5$.
• Per al màxim augment ($s_o \approx 7.14 \, \text{cm}$), l’augment angular és $3.5$.

Resum de resultats:

• a) Imatge a $-15 \, \text{cm}$ (virtual), grandària $5 \, \text{cm}$, dreta.
• b) Imatge a $60 \, \text{cm}$ (real), grandària $10 \, \text{cm}$, invertida.
• c) Visió relaxada: $s_o = 10 \, \text{cm}$, $M_\theta = 2.5$. Màxim augment: $s_o \approx 7.14 \, \text{cm}$, $M_\theta = 3.5$.