Càlcul de la posició i grandària de la imatge en un mirall còncau

Per determinar la posició i la grandària de la imatge quan un objecte de 6 cm d’alçada es col·loca a $20$ cm d’un mirall còncau de $60$ cm de radi, així com si la imatge és real o virtual, utilitzarem l’equació dels miralls esfèrics i la fórmula de l’augment. Les dades són: alçada de l’objecte $h_o = 6 \, \text{cm}$, radi del mirall $R = 60 \, \text{cm}$, i distància de l’objecte $s_o = 20 \, \text{cm}$.

1. Posició de la imatge:

La posició de la imatge ve donada per l’equació dels miralls esfèrics:

$$\frac{1}{s_o} + \frac{1}{s_i} = \frac{2}{R}$$

Aïllant $s_i$:

$$\frac{1}{s_i} = \frac{2}{R} – \frac{1}{s_o} = \frac{2s_o – R}{s_o R}$$

Substituint $R = 60 \, \text{cm}$ i $s_o = 20 \, \text{cm}$:

$$\frac{1}{s_i} = \frac{2}{60} – \frac{1}{20} = \frac{2}{60} – \frac{3}{60} = -\frac{1}{60}$$

$$s_i = -60 \, \text{cm}$$

La distància de la imatge és negativa ($s_i = -60 \, \text{cm}$), cosa que indica que la imatge es forma darrere del mirall.

2. Grandària de la imatge:

L’augment ($M$) es calcula amb:

$$M = -\frac{s_i}{s_o}$$

Substituint $s_i = -60 \, \text{cm}$ i $s_o = 20 \, \text{cm}$:

$$M = -\frac{-60}{20} = 3$$

La grandària de la imatge es calcula amb:

$$h_i = M \cdot h_o$$

Substituint $M = 3$ i $h_o = 6 \, \text{cm}$:

$$h_i = 3 \cdot 6 = 18 \, \text{cm}$$

3. Tipus de la imatge:

Com que $s_i$ és negativa ($s_i = -60 \, \text{cm}$), la imatge és virtual, ja que es forma darrere del mirall. A més, l’augment positiu ($M = 3$) indica que la imatge és dreta i més gran que l’objecte.

Resposta

• Posició de la imatge: La imatge es forma a $60$ cm darrere del mirall ($s_i = -60 \, \text{cm}$).
• Grandària de la imatge: L’alçada de la imatge és $18$ cm ($h_i = 18 \, \text{cm}$).
• Tipus de la imatge: La imatge és virtual, dreta i més gran que l’objecte.