Càlcul de la posició d’un recipient per recollir un líquid projectat

Un dipòsit tancat conté aigua (\(\rho = 1 \, \text{kg/dm}^3\)) a una pressió de \(5 \, \text{kg/cm}^2\) sobre la superfície lliure del líquid. Per debades de la superfície, a 10 m de distància, se situa un orifici de petites dimensions, tapat inicialment per evitar el vessament del líquid. Determinar, una vegada que es retira el tapó: a) La velocitat de sortida del líquid. b) A quina distància s’hauria de col·locar un recipient perquè l’aigua caigués en el seu interior. Considereu que el nivell del líquid roman constant i que el valor de la pressió atmosfèrica és \(10^5 \, \text{Pa}\).

Sabem que la conservació de la massa exigeix que el cabal que travessa una secció en la part superior del tanc \(S_1\) sigui igual al cabal que travessa l’orifici \(S_2\) de sortida de l’aigua, és a dir:\begin{equation}Q_1 = S_1 v_1 = S_2 v_2 = Q_2\end{equation}I com que l’orifici de sortida és molt petit, com \(S_1 \gg S_2\), la velocitat del fluid en la superfície es pot considerar nul·la.Aleshores, plantegem el Teorema de Bernoulli per relacionar les velocitats, pressions i diferències d’alçada en una línia de corrent entre la superfície i l’orifici de sortida:\begin{equation}p_1 + \rho g h_1 + \frac{1}{2} \rho v_1^2 = p_2 + \rho g h_2 + \frac{1}{2} \rho v_2^2\end{equation}Si assumim que, com s’ha dit més amunt, \(v_1 = 0\) i col·loquem un sistema de coordenades amb el seu origen en l’orifici de sortida, resulta \(h_2 = 0\):\begin{equation}p_1 + \rho g h_1 = p_2 + \frac{1}{2} \rho v_2^2\end{equation}I, finalment, després de simplificar:\begin{equation}v_2 = \sqrt{\frac{2}{\rho} (p_1 – p_2 + \rho g h_1)}\end{equation}Que, substituint pels valors donats, resulta:\begin{equation}v_2 = 31,62 \, \text{m/s}\end{equation}

Vegem ara a quina distància ubiquem el recipient per a la qual cosa plantegem les equacions cinemàtiques.

La velocitat $v_2$ romandrà constant de manera que $d = v_2 t^*$, on $t^*$ és el temps que triga el líquid a arribar al terra. Aquest temps es resol a partir de

$$y(t^*) = -5\,m = -\frac{1}{2} g (t^*)^2$$

D’on resulta que $t^* = 1\,s$, i que llavors la distància a la qual cal ubicar el recipient és:

$$d = 31{,}62\,m$$