Càlcul de la pèrdua de càrrega en una canonada amb canvi de diàmetre

Una canonada transporta oli amb densitat relativa $\rho_r = 0,895$, i passa de $20$ cm de diàmetre a la secció $E$ a $50$ cm de diàmetre a la secció $R$. La secció $E$ està $4$ m per sota de $R$, i les pressions a les dues seccions són: $$P_E = 91,233 \text{ kPa}, \quad P_R = 0,614 \text{ kp/cm²}$$ Si el cabal és de $250$ l/s, determineu la pèrdua de càrrega en la direcció del flux.

---

Dades

• Diàmetres: $D_E = 0,20\text{ m}, D_R = 0,50\text{ m}$
• Diferència d’altura: $z_R – z_E = 4\text{ m}$
• Pressions: $P_E = 91,233 \text{ kPa}, P_R = 0,614 \text{ kp/cm²}$
• Cabal: $Q = 250\text{ l/s} = 0,25\text{ m³/s}$
• Densitat relativa: $\rho_r = 0,895 \implies \rho = 0,895 \cdot 1000 \approx 895 \text{ kg/m³}$

---

Solució

1. Convertir les pressions a Pa

1 kp/cm² = 98,0665 kPa

$$P_R = 0,614 \cdot 98,0665 \approx 60,2 \text{ kPa}$$

$$P_E = 91,233 \text{ kPa (ja en kPa)}$$

---

2. Velocitats a les seccions

Àrees de les seccions:

$$A_E = \frac{\pi D_E^2}{4} = \frac{\pi (0,20)^2}{4} \approx 0,03142 \text{ m²}$$

$$A_R = \frac{\pi D_R^2}{4} = \frac{\pi (0,50)^2}{4} \approx 0,19635 \text{ m²}$$

Velocitats (Q = 0,25 m³/s):

$$V_E = \frac{Q}{A_E} = \frac{0,25}{0,03142} \approx 7,95 \text{ m/s}$$

$$V_R = \frac{Q}{A_R} = \frac{0,25}{0,19635} \approx 1,27 \text{ m/s}$$

---

3. Equació de Bernoulli amb pèrdua de càrrega

Per una línia de corrent incompressible:

$$\frac{P_R}{\rho g} + \frac{V_R^2}{2g} + z_R = \frac{P_E}{\rho g} + \frac{V_E^2}{2g} + z_E + h_f$$

On $h_f$ és la pèrdua de càrrega. Reordenem per a $h_f$:

$$h_f = \left(\frac{P_E}{\rho g} – \frac{P_R}{\rho g}\right) + \left(\frac{V_E^2}{2g} – \frac{V_R^2}{2g}\right) + (z_E – z_R)$$

---

4. Convertir pressions a metres de columnes d’oli

$$\frac{P}{\rho g} \text{ en m} = \frac{P \text{(Pa)}}{\rho g}$$

$$\rho = 895 \text{ kg/m³}, g = 9,81 \text{ m/s²}$$

$$\frac{P_E}{\rho g} = \frac{91,233}{895 \cdot 9,81} \approx \frac{91,233}{8774} \approx 10,39 \text{ m}$$

$$\frac{P_R}{\rho g} = \frac{60,200}{895 \cdot 9,81} \approx \frac{60,200}{8774} \approx 6,86 \text{ m}$$

---

5. Energia cinètica per unitat de pes

$$\frac{V_E^2}{2g} = \frac{7,95^2}{2 \cdot 9,81} \approx \frac{63,2}{19,62} \approx 3,22 \text{ m}$$

$$\frac{V_R^2}{2g} = \frac{1,27^2}{19,62} \approx \frac{1,61}{19,62} \approx 0,082 \text{ m}$$

---

6. Diferència d’alçada

$$z_E – z_R = -4 \text{ m} \quad (\text{E està 4 m sota R})$$

---

7. Pèrdua de càrrega $h_f$

$$h_f = (10,39 – 6,86) + (3,22 – 0,082) – 4$$

$$h_f = 3,53 + 3,138 – 4 \approx 2,668 \text{ m}$$

---

✅ Resultat final

$$\boxed{h_f \approx 2,67 \text{ m de columna d’oli}}$$

---