Càlcul de la velocitat amb Tub de Pitot

El Tub de Pitot de la figura s’utilitza per mesurar la velocitat d’un oli $Dr=0.862$ en el centre de la canonada de la figura. Determineu aquesta velocitat suposant que no hi ha pèrdues per fricció (4.27 m/s). Suposant que els dos braços del Tub de Pitot estiguessin connectats a un manòmetre diferencial de mercuri, calculeu quina hauria estat la diferència d’alçada de mercuri entre els dos braços del manòmetre si es mantenien les pressions de l’apart anterior en els punts A i B (6.29 cm).

Dades inicials:

• Velocitat de l’oli al centre (dada per verificar): $v = 4.27 \, \text{m/s}$.
• Distància entre els punts A i B: $5.58 \, \text{m}$ (separació horitzontal), però la diferència d’alçada $h$ es mesura verticalment.
• Diferència d’alçada mesurada entre els braços del manòmetre: $h = 6.29 \, \text{cm} = 0.0629 \, \text{m}$.
• Densitat relativa de l’oli: $D_r = 0.862$ (densitat de l’oli $\rho_{\text{oli}} = 0.862 \cdot 1000 = 862 \, \text{kg/m}^3$).
• Densitat del mercuri: $\rho_{\text{Hg}} = 13600 \, \text{kg/m}^3$ (densitat relativa ≈ 13.6).
• Acceleració de la gravetat: $g = 9.81 \, \text{m/s}^2$.
• Suposició: No hi ha pèrdues per fricció (flux ideal).

Pas 1: Verificació de la velocitat amb l’equació de Bernoulli i el tub de Pitot

El tub de Pitot mesura la velocitat del fluid comparant la pressió total (estagnació) al punt A (on el flux s’estagna) amb la pressió estàtica al punt B (on el tub està alineat amb el flux). L’equació de Bernoulli simplificada per a aquest cas, assumint $\Delta z = 0$ i sense pèrdues, és:

$$P_A + \frac{1}{2} \rho v^2 = P_B$$

On:

• $P_A$: pressió total al punt d’estagnació (A).
• $P_B$: pressió estàtica al punt B.
• $v$: velocitat de l’oli al centre de la canonada.
• $\rho = \rho_{\text{oli}} = 862 \, \text{kg/m}^3$.

La diferència de pressió $\Delta P = P_A – P_B$ es relaciona amb la velocitat:

$$\Delta P = \frac{1}{2} \rho v^2$$

Aquesta diferència de pressió es mesura amb el manòmetre diferencial de mercuri connectat als punts A i B. La diferència d’alçada $h$ del mercuri es calcula com:

$$\Delta P = (\rho_{\text{Hg}} – \rho_{\text{oli}}) \cdot g \cdot h$$

Substituint els valors donats:
$$\Delta P = (13600 – 862) \cdot 9.81 \cdot 0.0629$$
$$\Delta P = 12738 \cdot 9.81 \cdot 0.0629 \approx 7856.6 \, \text{Pa}$$

Ara, igualem amb l’equació de Bernoulli:
$$\frac{1}{2} \rho v^2 = 7856.6$$
$$\frac{1}{2} \cdot 862 \cdot v^2 = 7856.6$$
$$431 \cdot v^2 = 7856.6$$
$$v^2 = \frac{7856.6}{431} \approx 18.23$$
$$v \approx \sqrt{18.23} \approx 4.27 \, \text{m/s}$$

La velocitat calculada ($4.27 \, \text{m/s}$) coincideix exactament amb la velocitat donada, cosa que valida la coherència de les dades i la suposició de no haver-hi pèrdues per fricció.

Pas 2: Càlcul de la diferència d’alçada teòrica del mercuri

Si la velocitat real fos $4.27 \, \text{m/s}$, calculem la diferència d’alçada teòrica $h_{\text{teòric}}$ que hauria d’indicar el manòmetre:

$$\Delta P = \frac{1}{2} \rho v^2$$
$$\Delta P = \frac{1}{2} \cdot 862 \cdot (4.27)^2$$
$$\Delta P = 431 \cdot 18.23 \approx 7856.6 \, \text{Pa}$$

Aquesta diferència de pressió ha de correspondre a l’alçada del mercuri:
$$\Delta P = (\rho_{\text{Hg}} – \rho_{\text{oli}}) \cdot g \cdot h_{\text{teòric}}$$
$$7856.6 = 12738 \cdot 9.81 \cdot h_{\text{teòric}}$$
$$h_{\text{teòric}} = \frac{7856.6}{12738 \cdot 9.81}$$
$$h_{\text{teòric}} \approx \frac{7856.6}{124959.78} \approx 0.0629 \, \text{m} = 6.29 \, \text{cm}$$

El valor teòric ($6.29 \, \text{cm}$) coincideix amb la diferència d’alçada mesurada, confirmant la consistència del sistema.

Resposta final:

• La velocitat de l’oli al centre de la canonada és $4.27$ m/s.
• La diferència d’alçada teòrica del mercuri entre els braços del manòmetre seria $6.29$ cm, que coincideix amb la mesura donada.