Càlcul de la freqüència i la longitud d’ona de la radiació emesa per un electró

Calcula la freqüència i la longitud d’ona de la radiació emesa per un electró que passa de l’estat excitat amb una energia de $–3,4$ eV a l’estat fonamental amb una energia de $–13,6$ eV.

1. Càlcul de l’energia emesa (ΔE): L’energia emesa correspon a la diferència entre els nivells d’energia inicial i final:\[\Delta E = E_{\text{final}} – E_{\text{inicial}} = -13,6 \, \text{eV} – (-3,4 \, \text{eV}) = -13,6 + 3,4 = -10,2 \, \text{eV}.\]Com que l’electró emet energia, prenem el valor absolut:\[\Delta E = 10,2 \, \text{eV}.\]Convertim aquesta energia a joules (1 eV = \(1,602 \times 10^{-19} \, \text{J}\)):\[\Delta E = 10,2 \, \text{eV} \times 1,602 \times 10^{-19} \, \text{J/eV} = 1,634 \times 10^{-18} \, \text{J}.\]

2. Càlcul de la freqüència (\(f\)): La freqüència de la radiació està relacionada amb l’energia emesa per la fórmula:\[E = h \cdot f,\]on \(h\) és la constant de Planck (\(h = 6,626 \times 10^{-34} \, \text{J·s}\)).Reorganitzem per trobar \(f\):\[f = \frac{E}{h} = \frac{1,634 \times 10^{-18} \, \text{J}}{6,626 \times 10^{-34} \, \text{J·s}} = 2,466 \times 10^{15} \, \text{Hz}.\]Per tant, la freqüència és:\[f = 2,47 \times 10^{15} \, \text{Hz}.\]

3. Càlcul de la longitud d’ona (\(\lambda\)): La longitud d’ona està relacionada amb la freqüència per la fórmula:\[\lambda = \frac{c}{f},\]on \(c\) és la velocitat de la llum (\(c = 3,00 \times 10^8 \, \text{m/s}\)).Substituïm:\[\lambda = \frac{3,00 \times 10^8 \, \text{m/s}}{2,466 \times 10^{15} \, \text{Hz}} = 1,216 \times 10^{-7} \, \text{m}.\]Convertim a nanòmetres (1 m = \(10^9 \, \text{nm}\)):\[\lambda = 1,216 \times 10^{-7} \, \text{m} \times 10^9 \, \text{nm/m} = 121,6 \, \text{nm}.\]

Resposta final:

• Freqüència: \(2,47 \times 10^{15} \, \text{Hz}\).

• Longitud d’ona: \(121,6 \, \text{nm}\).