Càlcul de la Força Centrípeta en un Trineu en Moviment Circular

Un trineu amb una massa de 25,0 kg descansa sobre una plataforma horitzontal de gel pràcticament sense fricció. Està unit amb una corda de 5,00 m a un pal clavat al gel. Un cop se li dona una empenta, el trineu gira uniformement al voltant del pal. Si el trineu efectua 5 revolucions completes cada minut, calcula la força \( F \) que la corda exerceix sobre el trineu.

• Massa del trineu: \( m = 25,0 \, \text{kg} \)

• Longitud de la corda (radi de la trajectòria circular): \( r = 5,00 \, \text{m} \)

• Revolucions per minut: 5 rpm

a) Velocitat angular. Convertim les revolucions per minut a radians per segon: \[\omega = \frac{5 \cdot 2\pi}{60} = \frac{10\pi}{60} = \frac{\pi}{6} \, \text{rad/s}\]

b) Velocitat lineal. La velocitat lineal \( v \) es calcula com: \[v = \omega \cdot r = \frac{\pi}{6} \cdot 5 = \frac{5\pi}{6} \, \text{m/s}\]

c) Acceleració centrípeta. L’acceleració centrípeta \( a_c \) és: \[a_c = \frac{v^2}{r} = \frac{\left(\frac{5\pi}{6}\right)^2}{5}\]Substituint: \[a_c = \frac{\frac{25\pi^2}{36}}{5} = \frac{25\pi^2}{180} \, \text{m/s}^2\]

Numeriquem aproximadament (\( \pi \approx 3,1416 \)): \[a_c \approx \frac{25 \cdot (3,1416)^2}{180} \approx \frac{25 \cdot 9,8696}{180} \approx \frac{246,74}{180} \approx 1,37 \, \text{m/s}^2\]

d) Força centrípeta (força de la corda). La força \( F \) que la corda exerceix és igual a la força centrípeta, donada per: \[F = m \cdot a_c\]

Substituint: \[F = 25,0 \cdot 1,37 \approx 34,25 \, \text{N}\]

Resposta final: La força que la corda exerceix sobre el trineu és aproximadament 34,3 N.